0x50 动态规划(0x5C 计数类DP)例题3:装饰围栏(题解)(计数类DP讲解,确定第k个排列)
计数类DP一般就是确定DP状态,DP出排名范围,然后不断逼近。
题意
【题目描述】
有 N 块长方形的木板,长度分别为1,2,…,N,宽度都是1。
现在要用这 N 块木板组成一个宽度为 N 的围栏,满足在围栏中,每块木板两侧的木板要么都比它高,要么都比它低。
也就是说,围栏中的木板是高低交错的。
我们称“两侧比它低的木板”处于高位,“两侧比它高的木板”处于低位。
显然,有很多种构建围栏的方案。
每个方案可以写作一个长度为N的序列,序列中的各元素是木板的长度。
把这些序列按照字典序排序,如下图所示,就是 N=4 时,所有满足条件的围栏按照木板长度的字典序排序后的结果。
现在给定整数C,求排名为C的围栏中,各木板的长度从左到右依次是多少。
注:两侧的木板指的是相邻的两块木板
【输入格式】
第一行包含整数K,表示一共有K组数据。
接下来K行,每行包含一组数据,包括两个整数N和C。
【输出格式】
每组数据输出一行结果,结果表示排名为C的围栏中,各木板的长度从左到右排成的序列。
同行数据用空格隔开。
【数据范围】
1<=N<=20
0<C<2^63
【输入样例】
2
2 1
3 3
【输出样例】
1 2
2 3 1
题解
\(f[i][j][0/1]\),分别表示的是点集在\(1\)~\((n-i+1)\),第一个位置选的是\(j\)且第一个位置是\(down(0)/up(1)\)的时候的方案数。
那么很明显的一个状态转移方程是:
\(f[i-1][j][0]=\sum\limits_{k=j}^{n-i+1}f[i][k][1]\)
意思就是把\(s(i)\)点集中的\(j\)~\(n-i+1\)加\(1\),把\(j\)插到原本\(j\)的位置上,就成了\(s(i-1)\)的点集了。
那么很显然:
\(f[i-1][j][1]=\sum\limits_{k=1}^{i-1}f[i][k][0]\)
然后我们可以对于第\(1\)位的数字,通过看排名范围来确定第一位是什么数字,\(up\)还是\(down\),然后后面也一样慢慢逼近就行了。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 30
using namespace std;
typedef long long LL;
LL f[N][N][2],m;//0为up,1为down
int n;
int a[N];
inline int findkth(int k)
{
int x=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
x+=a[i];
if(x==k)
{
a[i]=0;
return i;
}
}
}
int b[N];
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
memset(f,0,sizeof(f));
scanf("%d%lld",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=1;
f[n][1][0]=f[n][1][1]=1;
for(int i=n-1;i>=1;i--)
{
for(int j=n-i+1;j>=1;j--)
{
//现在处理的是up的情况
for(int k=1;k<j;k++)f[i][j][1]+=f[i+1][k][0];
for(int k=n-i+1;k>=j;k--)f[i][j][0]+=f[i+1][k][1];
}
}
//计数DP
int type,id;
for(int i=1;i<=n;i++)//确定第一位是多少,up还是down
{
if(f[1][i][1]<m)m-=f[1][i][1];
else{b[1]=findkth(i);id=i;type=1;break;}
if(f[1][i][0]<m)m-=f[1][i][0];
else{b[1]=findkth(i);id=i;type=0;break;}
}
for(int i=2;i<=n;i++)
{
int st=1,ed=n-i+1;type^=1;
if(type==0)ed=id-1;
else st=id;
for(int j=st;j<=ed;j++)
{
if(f[i][j][type]<m)m-=f[i][j][type];
else{b[i]=findkth(j);id=j;break;}
}
}
for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",b[i]);
printf("%d\n",b[n]);
}
return 0;
}