EXKMP学习笔记QAQ
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因为一本通少了一些算法，所以我就自行补充了一些东西上去。
EXKMP也就是扩展KMP，是一种特别毒瘤的东西
EXKMP确实很难，我理解他的时间与AC机的时间差不多，而且还很难记，因此一学会就马上写博客了QAQ
定义
EXKMP就是解决这种问题的。
先讲两个数组的定义（默认所有数组从1开始）：
ex数组，代表A（主串）的从第i位与B（子串）的最长相同前缀。
next数组，代表B（子串）的从第i位与B（子串）的最长相同前缀。
算法思想
注：所有字符串下标从1开始
首先，假定已经匹配的ex数组位置为1~a，next数组全部匹配好了（next数组的匹配方式跟ex数组的匹配方式大致相同，后面会讲，不用担心）。
首先，我们定义一个\(p\)，代表\(max(i+ex_{i}-1)(i\in [1,a])\)，也就是目前在主串中匹配到的最远的位置，同时设能使p最大的\(i\)为\(b\)，设目前要匹配\(k\)的位置。
首先，我们知道，当\(a<=p\)时，那么我们可以知道\(A_{b\rightarrow p}=B_{1\rightarrow (p-a+1)}\)。
注：至于\(a==p+1\)的情况仅当\(ex_{a}=0\)并且以前的\(i+ex_{i}-1\)都没有超过\(a-1\)，且在这种情况下，在后面会讲到，将被归类在\(k+L>=p\)中\(k>p\)的情况，不会造成任何任何影响，后面会讲，无需着急，同时不会有\(a>p-1\)的情况。
注：上面是B串，下面是A串，绿色部分为相等部分。
那么，我们去掉一起从开头去掉\(k-b\)长度的字符串，即为\(A_{k\rightarrow p}=B_{(k-b+1)\rightarrow (p-a+1)}\)（紫色部分）
注：为什么\(k\)挨着\(a\)？因为\(k=a+1\)，这里为证明方便，多设一个k。
但是，我们并不知道从A串从\(k\)开始的地方与B串从\(1\)开始的地方有什么瓜葛？
这时候，我们需要一员大将：设\(L=next_{k-b+1}\)，没错，我们知道了\(A_{k\rightarrow p}=B_{(k-b+1)\rightarrow (p-a+1)}\)，那么我们就可以找出从\(B_{1}\)开始最长可以与\(B_{(k-b+1)}\)相等多少，就是next数组。
这时候，有了两种情况：
先设\(now=k+L-1\)。
- now<p
注：上面是B串，下面是A串，粉色框框与绿色框框为相等部分。
我们发现，三个蓝色部分：\(B_{(now+1)},A_{(L+1)},A_{(k-b+L+1)}\)，根据前面，我们知道：\(B_{(now+1)}=A_{(k-b+L+1)}\)，有根据next数组的定义，我们知道\(A_{(L+1)}\ne A_{(k-b+L+1)}\)（如果不是的话，L可以++），那么，我们可以知道\(A_{(L+1)}\ne B_{(now+1)}\)，所以，这个时候\(ex_{k}=L\)。
- now>p
这也分两种情况：
- k>p
这个时候应当从\(k\)开始暴力匹配，因为\(k\)不在\(p\)的范围内，\(k-b+1\)也不在\(p-b+1\)的范围内，所以只能暴力匹配。
2.k≤p
首先，我们知道now>p，意味着什么？你真的学会的话，应该知道如果now>p，那么\(k-b+1+L-1=k-b+L>(p-b+1)\)。
那么，这里面的\(p-k+1\)其实就是在\(B_{1}\)至\(B_{L}\)中与\(B_{p-b+1}\)所对应的位置，也就是与\(A_{p}\)所对应的位置。
那么我们就知道了三个关键位置\(A_{p},B_{p-k+1},B_{p-b+1}\)，我们看他后面的浅蓝色框框框住的位置\(A_{p+1},B_{p-k+2},B_{p-b+2}\)，像上一个那么推：\(A_{p+1}\ne B_{p-b+2},B_{p-b+2}=B_{p-k+2}\)，那么，我们就可以知道\(A_{p+1}\ne B_{p-k+2}\)，那么，这个时候我们就可以知道这时候\(ex_{k}=p-k+1\)
- now=p
这种情况下，由于\(now==p\)，所以导致在\(B_{(p+1)},A_{(L+1)},A_{(p-b+2)}\)中，\(B_{(now+1)}\ne A_{(p-b+2)}\)，根据next数组的定义，我们知道\(A_{(L+1)}\ne A_{(p-b+2)}\)（如果不是的话，L可以++），但是\(A_{(p+1)}\ne B_{(L+1)}\)是不一定的。如\(a\ne b,b\ne a,a=b\)
那么，我们就直接等于p，然后不断暴力匹配，然后更新\(b\)、\(p\)、\(a\)。（其实\(a\)根本不需要记录的）
至于next如何匹配，就把B当成子串与主串就行了，不过\(next_{1}\)可以不用去理他。。。
复杂度：每个数匹配一次，\(p\)最多向右移到\(n\)（母串）。
当然，代码上有些细节，大家需要自行推倒一下：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1100000
using namespace std;
int next[N],ex[1100000],n,m;
char A[N],B[N];
inline int mymin(int x,int y){return x<y?x:y;}
void exkmp()
{
//匹配next数组，由于next数组都为0，可以一开始不预处理出ex[2]。
int b=0,p=0;
for(int i=2;i<=m;i++)
{
int L=next[i-b+1]/*i-b+1>1*/,now=i+L-1/*判断用的变量*/;
if(now<p)next[i]=L;
else//包括情况二与情况三
{
int pp=p-i+1<0?0:p-i+1;
while(i+pp<=m/*因为i+pp>pp+1(pp≥2)，所以判断i+pp就行了*/ && B[i+pp]==B[pp+1])pp++;
next[i]=pp;b=i;p=next[b]+b-1;//更新
}
}
b=p=0;//不用担心，他会跳到else里面去的
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int L=next[i-b+1],now=i+L-1;
if(now<p)ex[i]=L;
else
{
int pp=p-i+1<0?0:p-i+1;
while(i+pp<=n && pp<m && A[i+pp]==B[pp+1])pp++;
ex[i]=pp;b=i;p=b+ex[b]-1;
}
}
}
int main()
{
scanf("%s%s",A+1,B+1);n=strlen(A+1);m=strlen(B+1);//输入
exkmp();//匹配
for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",ex[i]);//输出
printf("%d\n",ex[n]);
return 0;
}
疑难杂症
没错，EXKMP就是这么难，于是我写了疑难杂症。其实就是自己太弱了，所以需要写。。。
1
代码中怎么只有情况一与情况三的代码？
因为我们发现情况二的代码可以在情况三的代码里面。
2
为什么不用预处理出\(ex\)数组与\(next\)数组的一个数字来更新\(b\)与\(p\)？
因为在一开始中，我们\(b=p=0\)
那么\(i+L-1\)就算\(i=1,L=0\)，\(i+L-1\)也大于\(1\)，所以我们可以放心的交给for循环。
3
困扰了我一段时间的一个问题，解决后发现是我想错方向，同时又想的太复杂的。
就是，当\(b\)与\(p\)更新了，在求原来的\(b-p\)与现在的\(b-p\)的交集的地方的时候，我们在求\(ex\)或\(next\)数组时，\(i-b+1\)是不同的，现在的\(b\)大于原来的\(b\)，那么现在的\(i-b+1\)就小于原来的\(i-b+1\)，是否会影响结果？
其实并不然，简单点，佛系思想：因为方法正确，只要是合法的\(b,p\)，都可以求出\(ex_{i}\)或\(next_{i}\)。
但是，深入一点想，更新了\(b\)与\(p\)，会不会影响求两个地方交集部分的\(ex\)或\(next\)？
画图帮助理解：
首先，棕色格子不相等，我们是知道的。
分三种情况考虑：
- \(next_{k'}+k'-1＜p'-b'+1\)
这个时候，因为两个蓝色框框对应相等，所以\(next_{k}=next_{k'}\)。
2.\(next_{k'}+k'-1=p'-b'+1\)
这个时候，我们知道\(B_{p'-b'+2}\ne B_{next_{k'}+1}\)，又因为\(B_{p'-b'+2}\ne B_{p'-b+2}\)，那么，我们还是不知道\(B_{next_{k'}+1},B_{p'-b+2}\)的关系。。。那么\(k'+next_{k}+1≥p'-b'+1\)。
这种情况下匹配是否相等？
首先\(next_{k'}+k'-1=p'-b'+1\)，那么，在\(b'，p'\)的情况下，\(k\)会去暴力匹配，那么在\(b',p'\)的情况下，看\(next_{k}\)的情况，反正\(next_{k}≥next_{k'}\)，至少不会错，反而快了。
- \(next_{k}+k'-1=p'-b'+1\)
照样像上面证明，得到\(next_{k'}+k'-1≥p'-b'+1\)，那么，我们知道\(p'≥p\)，首先\(next_{k}+k'-1=p'-b'+1\)，那么我们知道这时候\(now≤p\)，那么，在\(b,p\)中，最多暴力匹配或者跳到情况得到（匹配中的情况1，不是这里的情况1），而\(next_{k'}+k'-1≥p'-b'+1\)，那么，在\(b',p'\)中，\(k\)在A中的ex值也就是\(p'-k+1\)，可是在\(b,p\)中还有个暴力匹配的情况？
想想就知道，暴力匹配不会得出什么新的答案，最后结果还是\(p'-k+1\)
至此，问题3解决，完结撒花。
大家有什么问题可以在评论区问我。
练习题目
双倍经验
哈哈哈，双倍经验。
作为一道练手题目看待吧。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1100000
using namespace std;
int next[N],ex[1100000],n,m;
char A[N],B[N];
inline int mymin(int x,int y){return x<y?x:y;}
void exkmp()
{
//匹配next数组，由于next数组都为0，可以一开始不预处理出ex[2]。
int b=0,p=0;
for(int i=2;i<=m;i++)
{
int L=next[i-b+1]/*i-b+1>1*/,now=i+L-1/*判断用的变量*/;
if(now<p)next[i]=L;
else
{
int pp=p-i+1<0?0:p-i+1;//代表目前从i位置已经匹配的长度。
//里面有特判情况2中的情况2.
while(i+pp<=m/*因为i+pp>pp+1(pp≥2)，所以判断i+pp就行了*/ && B[i+pp]==B[pp+1])pp++;
next[i]=pp;b=i;p=next[b]+b-1;//更新
}
}
//因为next数组匹配完了，要先处理出ex[1]
b=p=0;//会跳到情况二
//更匹配next差不多的代码
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int L=next[i-b+1],now=i+L-1;
if(now<p)ex[i]=L;
else
{
int pp=p-i+1<0?0:p-i+1;
while(i+pp<=n && pp<m && A[i+pp]==B[pp+1])pp++;
ex[i]=pp;b=i;p=b+ex[b]-1;
}
}
}
int main()
{
scanf("%s%s",A+1,B+1);n=strlen(A+1);m=strlen(B+1);//输入
exkmp();//匹配
for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",ex[i]);//输出
printf("%d\n",ex[n]);
return 0;
}
应用
这道题目其实可以用Manacher来做的，但是毕竟标签是EXKMP，就用EXKMP来做。
首先，我们设\(A'\)是\(A\)倒过来的串，那么分别把\(A'\)与\(A\)当成主串或子串处理出两个ex数组。
至此，打架应该大概有思路了吧。
两个红色格子圈住的是重点，看\(A'\)串，假设\(A\)与\(A'\)的长度为\(n\)，蓝色部分长度为\(i\)，那么，我们可以看以\(A'_{(n-i+1)}\)为开头的前缀，与\(A\)串以\(A_{1}\)开头的那个前缀相等，且要求求出最长的长度。
仔细一看，不就是ex数组的定义？那么，我们可以由\(ex2_{(n-i+1)}\)得出，（ex2是以\(A\)为子串，\(A'\)主串的ex数组），那么我们仔细观察发现，当\(ex2_{(n-i+1)}≥(i/2)\)时，\(A\)中\([1,i]\)的子串就是一个回文子串。
至于如何判断\([i+1,n]\)的子串是否是回文子串，建议自己想，当然，图片中\(A\)串上也有一个红色框框框住的格子，方法与上面相同，也就不再赘述。作者越来越懒了。。。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 510000
using namespace std;
char st1[N],st2[N];
int ex1[N],ex2[N],next[N],n;
inline int mymin(int x,int y){return x<y?x:y;}
inline int mymax(int x,int y){return x>y?x:y;}
void exkmp(char A[]/*母串*/,char B[]/*母串*/,int ex[]/*ex数组*/)//一遍exkmp
{
//next
int b=0,p=0;
for(int i=2;i<=n;i++)//处理next
{
int L=next[i-b+1],now=i+L-1;
if(now<p)next[i]=L;
else
{
int qq=p-i+1<0?0:p-i+1;
while(i+qq<=n && B[i+qq]==B[qq+1])qq++;
next[i]=qq;b=i;p=next[b]+b-1;
}
}
//ex
b=p=0;
for(int i=1;i<=n;i++)//处理ex
{
int L=next[i-b+1],now=i+L-1;
if(now<p)ex[i]=L;
else
{
int qq=p-i+1<0?0:p-i+1;
while(i+qq<=n && A[i+qq]==B[qq+1])qq++;
ex[i]=qq;b=i;p=ex[b]+b-1;
}
}
}
int d[30],sum[N];//处理权值和
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
for(int i=1;i<=26;i++)scanf("%d",&d[i]);
scanf("%s",st1+1);n=strlen(st1+1);
for(int i=1;i<=n;i++)st2[i]=st1[n-i+1],sum[i]=sum[i-1]+d[st1[i]-'a'+1];//倒着的串
exkmp(st1,st2,ex1);exkmp(st2,st1,ex2);//处理正着跟倒着
int ans=0;
for(int i=1;i<n;i++)//暴力处理最大值
{
int now=0;
if(ex2[n-i+1]>=i/2)now+=sum[i];//判断[1,i]是否是回文串
if(ex1[i+1]>=(n-i)/2)now+=sum[n]-sum[i];//判断[i+1,n]是否是回文串
ans=mymax(ans,now);//更新
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
这道题目，嗯，十分牛逼，用kmp可以解决，但是时间是EXKMP的两倍。
EXKMP怎么做？
先看做法：
定义E的最大长度为\(maxlen=max(min(i,next_{i},(n-i)/2))(1≤i≤n)\)，然后在\(1\)到\(n-1\)的区间内找一个数字\(i\)，使得\(next_{i}\)最大，且\(next_{i}≤maxlen\)与\(next_{i}+i-1=n\)。
正确性：
我们知道，现在E的长度最长为maxlen（至于为什么，需要读者去深刻理解），\(maxlen\)的作用实际上就是规定了开头的E与中间的E的存在，为寻找最后的E做下铺垫。
\(maxlen\)是怎样的？
\(min(i,next_{i},(n-i)/2))\)实际上是规定了中间的E从\(i\)开始长度最长是多少，中间的\(next_{i}\)就规定了中间的E与开头的E相对成立，在相对成立的情况下，又不能超过\(min(i,(n-i)/2))\)。
那么找到了一个\(next_{i}(next_{i}+i-1=n\) && \(next_{i}≤maxlen)\)时，首先\(next_{i}+i-1=n\)，这规定开头的E与结尾的E，然后\(next_{i}≤maxlen\)，说明这个E的长度没有超过最大的E的限制，将中间的E也规定了，所以这种方法是成立的。
优化：
我们在找\(next_{i}\)的时候，我们可以发现只有在\((2/3)n\)到\(n-1\)里面找才会找到合法的\(next_{i}\)。
我知道我讲的不是很好
Code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 1100000
using namespace std;
int ne[N],n;
char st[N];
void exnext()
{//匹配next数组
int b=0,p=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
int L=ne[i-b+1],now=i+L-1;
if(now<p)ne[i]=L;
else
{
int qq=p-i+1<0?0:p-i+1;
while(i+qq<=n && st[qq+1]==st[i+qq])qq++;
ne[i]=qq;b=i;p=ne[b]+b-1;
}
}
}
inline int mymin(int x,int y){return x<y?x:y;}//最小值
inline int mymax(int x,int y){return x>y?x:y;}//最大值
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%s",st+1);n=strlen(st+1);
exnext();
int max_len=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int now=mymin(mymin(i,ne[i]),(n-i)/2);
max_len=mymax(max_len,now);
}//处理maxlen
int edd=(n*2)/3,ans=0;
for(int i=edd;i<=n;i++)//找next[i]
{
if(ne[i]>max_len)continue;//不满足条件
if(i+ne[i]-1==n)//满足条件
{
ans=ne[i];//最大的ne
break;//退出
}
}
printf("%d\n",ans);//输出
}
return 0;
}
这道题可以用kmp做，等会说，但是我们讲exkmp的做法。
首先，找到一个长度最短的字符串，一次枚举他的每个后缀与每个字符串匹配到的最小长度，然后取每个前缀得到的值的最大值就行了。
KMP就是枚举前缀，而EXKMP枚举后缀。。。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#define N 210
using namespace std;
inline int mymin(int x,int y){return x<y?x:y;}
inline int mymax(int x,int y){return x>y?x:y;}
int ex[N],ne[N]/*就是原本的next数组*/,n,m;
char st[4100][N];
void exnext(char yy[])//匹配出next数组
{
m=strlen(yy+1);
int b=0,p=0;
for(int i=2;i<=m;i++)
{
int L=ne[i-b+1],now=i+L-1;
if(now<p)ne[i]=L;
else
{
int qq=p-i+1<0?0:p-i+1;
while(i+qq<=m && yy[i+qq]==yy[qq+1])qq++;
ne[i]=qq;b=i;p=ne[b]+b-1;
}
}
}
int exkmp(char xx[],char yy[])//匹配ne数组
{
n=strlen(xx+1);//这里不用更新m的原因是在exnext中就更新了m了。
int b=0,p=0,maxid=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int L=ne[i-b+1],now=i+L-1;
if(now<p)ex[i]=L;
else
{
int qq=p-i+1<0?0:p-i+1;
while(i+qq<=n && qq<m && xx[i+qq]==yy[qq+1])qq++;
ex[i]=qq;b=i;p=ex[b]+b-1;maxid=mymax(maxid,ex[i]);//记录与这个字符串的最大匹配值
}
}
return maxid;//返回
}
int main()
{
int T,minlen,mind;scanf("%d",&T);
while(T)//多组数据
{
minlen=0;mind=999999999;
for(int i=1;i<=T;i++)
{
scanf("%s",st[i]+1);
if(strlen(st[i]+1)<mind)mind=strlen(st[i]+1),minlen=i;
}//找最短的字符串
int ans=0,weizhi=0;
for(int i=1;i<=mind;i++)
{
int now=999999999;//记录最小的匹配值
exnext(st[minlen]+i-1);//先处理next
for(int j=1;j<=T;j++)//找到最小的匹配数
{
if(j!=minlen)
{
int ttk=exkmp(st[j],st[minlen]+i-1);
if(ttk<now)now=ttk;
}
}
if(now==ans)//一样的长度？找到最小字典序。
{
for(int j=1;j<=ans;j++)
{
if(st[minlen][weizhi+j-1]<st[minlen][i+j-1])break;
else if(st[minlen][weizhi+j-1]>st[minlen][i+j-1]){weizhi=i;break;}
}
}
else if(now>ans)weizhi=i,ans=now;//最大长度，更新
}
if(ans==0)printf("IDENTITY LOST\n");//什么都没匹配到
else
{
for(int i=1;i<=ans;i++)printf("%c",st[minlen][weizhi+i-1]);//输出
printf("\n");
}
scanf("%d",&T);//输入
}
return 0;
}
小结
今天终于学会了EXKMP了，先撒一波花。
另外，在码代码的时候需要注意几点：
- 在不加特判的情况下，\(i-now\)有可能大于\(1\)的。
- 一开始处理\(next[2]\)和\(ex[1]\)的时候需要注意。
把这几点注意了，基本上你爱怎么打怎么打了。
(:光速逃
