计算机图形学数学基础（初稿）

数学基础

默认为列向量，各种API都是默认列向量

点积（数量积、标量积、内积）

两个向量长度和他们夹角的积。
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = ||a|| ||b|| cos \theta\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{matrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{matrix}\right)\cdot\left( \begin{matrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{matrix}\right) = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)

• 结果是个数，与夹角余弦值成正比。
• 作用
  • 求两向量夹角\(\theta\)、余弦值
  • 求投影
  • 求余弦相似度，看两个向量有多接近
  • 求向量方向，点乘大于零为同向，小于零反向，等于零垂直，等于1重合，等于-1完全反向。

叉积

\(\vec{z}=\vec{x} \times \vec{y} = - \vec{y} \times \vec{x}\) ，c的方向通过右手定则确定，右手四指顺着由a出发指向b，拇指方向即为c方向。
\(||\vec{x} \times \vec{y}|| = ||x| |||y|| sin \theta\)
\(\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{matrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{matrix}\right)\times\left( \begin{matrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} y_1z_2-y_2z_1\\z_1y_2-x_1z_2\\x_1y_2-y_1x_2 \end{matrix}\right)\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = A^* \left( \begin{matrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0&-z_1&y_1\\z_1&0&-x_1\\-y_1&x_1&0 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{matrix}\right)\)

• 结果为另一个向量，且一定与ab垂直。
• 如果 $\vec{x} \times \vec{y} = - \vec{z} $，为左手坐标系，OpenGL、unity都是左手坐标系。
• 叉乘没有交换律，但有分配律，可以数乘
• $\vec{x} \times \vec{x} = 0 $
• 作用
  • 判定左右
  • 如图，如何判断a和b的左右关系，右手定则，a x b = c，c为正，b在a左侧，b x a = -c，a在b右边
    
  • 判定内外
    如图，判断点P是否在abc內部？
    利用右手定则，AB x AP与BC x BP与CA x CP方向一致，所以点P在ABC内部。
    

矩阵

• 没有交换律，有分配律和结合律
• \((AB)^T=B^TA^T\)
• \(A A^{-1} =A^{-1}A=I\)
• \((AB)^{-1} =B^{-1}A^{-1}\)

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MVP变换

• MVP变换：模型(model transformation)视图(view transformation)投影(projection transformation)变换
  • 就像拍照一样，先人站好（模型变换），再调整好相机，并确定往哪拍（视图变换），然后拍照（投影变换）。我们看到的都是三维世界的二维投影。
  • 模型变换
    • 仿射变换=线性变换+平移
  • 视图变换

模型变换（Model transformation）

二维变换

线性变换

\(x^{'}=Mx\)
不能表示平移

• 缩放变换
• 反射变换
• 切变
• 旋转

Scale缩放变换

• 均匀缩放
  \(x^{'}=sx\)
  \(y^{'}=sy\)
  或
  \(\left( \begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}s&0\\0&s \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right)\)
• 非均匀缩放
  \(\left( \begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}s_x&0\\0&s_y \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right)\)

反射变换（对称）

• 以y轴对称
  \(\left( \begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}-1&0\\0&1 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right)\)

切变 Shear Matrix

图中，所有的\(y\)坐标都没有变化，所有的\(x\)坐标都变成\(x+ay\)
\(\left( \begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1&a\\0&1 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right)\)

旋转Rotate

• 默认以(0,0)为原点，逆时针方向旋转
  
  \(\left( \begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}cos \theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right)\)
• 如果旋转\(-\theta\)角度：
  \(R_{-\theta}=\left(\begin{matrix}cos \theta&sin\theta\\-sin\theta&cos\theta \end{matrix}\right)=R^{-1}=R_\theta ^T\)
  如果一个矩阵的逆等于它的转置，那我们称这个矩阵为正交矩阵。
  很重要：旋转矩阵\(R_\theta\)是正交矩阵

重要概念：齐次坐标

• 作用
  • 实现一个统一模型

平移Translation

\(x^{'}=x+t_x\)
\(y^{'}=y+t_y\)
或
\(\left( \begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}a&b\\c&d \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix} t_x\\t_y \end{matrix}\right)\)

• 平移不能表示成\(x^{'}=Mx\)，所以平移不是线性变换。
• 所以寻找一种统一的方法描述各种变换——引入齐次坐标。
• 首先将二维平面的点和向量升维
  • 二维平面的点\(=(x,y,1)^T\)
  • 二维平面向量\(=(x,y,0)^T\)
  • 此时平移：
    \(\left( \begin{matrix} x^{'} \\ y^{'}\\z^{'} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0 &0& 1 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix} x+t_x\\y+t_y\\1 \end{matrix}\right)\)
  • 由于向量具有平移不变性，无论如何平移方向都不改变，所以向量不需要这个1。
• 事实上，2D点表示为\(\left( \begin{matrix} x\\y\\w \end{matrix} \right)\)，当\(w\neq0\)时，有\(\left( \begin{matrix} x/w\\y/w\\1 \end{matrix} \right)\)，所以1是这么来的，所以易推当两个点相减时，表示为两点的中点。

注意

• 先执行线性变换，再平移，从未引入齐次坐标的平移公式能看出来
• 顺序不同，结果不同，因为矩阵乘法没有交换律，即：
  \(R_{45} \cdot T_{(1,0)} \neq T_{(1,0)} \cdot R_{45}\)
• 矩阵执行，从右向左，如：先旋转45°，再向右平移一个单位：
  \(T_{1,0} \cdot R_{45} \left( \begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\0&0&1 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} cos45&-sin45&0\\ sin45&cos45&0\\0&0&1 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix}\right)\)

三维变换

线性变换

• 仍然引入齐次坐标:
  三维平面上的点\(=\left( \begin{matrix} x,y,z,1 \end{matrix} \right)^T\)
  三维平面上的向量\(=\left( \begin{matrix} x,y,z,0 \end{matrix} \right)^T\)
  同样有：
  \(\left( \begin{matrix} x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} a&b&c&t_x\\ d&e&f&t_y\\g&h&i&t_z\\0&0&0&1 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} x\\y\\z\\1 \end{matrix}\right)\)

旋转

\(R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma)=R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)\)
罗德里格斯公式Rodrigues：

旋转轴n，旋转角度α，默认轴从原点开始，方向为最标轴方向

视图变换（View / Camera transformation）

• 定义相机:

  • 位置：\(\vec{e}\)
  • 朝向/方向：\(\hat{g}\)
  • 上下方向：\(\hat{t}\)

• 约定俗成：标准位置:永远固定相机在原点，并往\(-Z\)方向看，以\(+Y\)为向上方向。这样方便

• 将任意位置相机挪到标准位置，如图所示：
  

  \(M_{view}=R_{view}T_{view}\)

  1. 先进行平移，把 \(\vec{e}\) 平移到原点
     \(T_{view}=\left( \begin{matrix} 1&0&0&-x_e \\ 0&1&0&-y_e \\ 0&0&1&1 \end{matrix} \right)\)
  2. \(\hat{g}\)旋转至\(-z\)，\(\hat{t}\)旋转至\(y\)，但是不好转，所以可以考虑\(y\)旋转至\(\hat{t}\)，\(-z\)旋转至\(\hat{g}\)，有：
     \(R^{-1}_{view}= \left( \begin{matrix} x_{\hat{g}}\times\hat{t} & x_t & x_{-g} & 0 \\ y_{\hat{g}}\times\hat{t} & y_t & y_{-g} & 0 \\ z_{\hat{g}}\times\hat{t} & z_t & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)\)
  3. 由于旋转矩阵为正交矩阵，所以有：
     \(R_{view}=(R^{-1}_{view})^T=\left( \begin{matrix} x_{\hat{g}}\times\hat{t} & y_{\hat{g}}\times\hat{t} & z_{\hat{g}}\times\hat{t} &0 \\ x_t & y_t & z_t & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\)

Projection (投影) transformation

两种投影方式：正交、透视

• 左图正交投影：原模型中平行的线依然平行，不会出现近大远小，多用于工程制图
• 右图为透视投影，模型中平行的线现在不再平行，近大远小，更接近现实世界。
  

Orthographic (正交) projection

1. 平移至原点
2. 缩放到\([-1,1]^2\)范围内
   如将一个任意位置的立方体\([l,r] \times [b,t] \times [f,n]\)（\([左,右] \times [下,上] \times [近,远]\)）透视为一个正则（规范、标准）立方体（canonical cube）\([-1,1]^3\)，
   
   \(M_{ortho}=\left( \begin{matrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 &0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 &1 \\ \end{matrix} \right)\)
   此时尚未考虑旋转，且模型会被拉伸，暂时按下不表。

Perspective (透视) projection

• 铺垫：齐次坐标中某个点\((x,y,z,1)^T\)可以乘任意一个数还表示它本身，所以可以乘\(z\)，有\((xz,yz,z^2,z)^T\)，都表示点\((x,y,z)^T\)。
• 原理：从相机这个点延伸出一个四棱锥，并规定近远。先挤压 再正交
  
  侧面来看：
  
  挤压后有：
  \(\left(\begin{matrix} x\\y\\z\\1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} nx/z\\ny/z\\unknow\\1 \end{matrix}\right)==\left(\begin{matrix} nx\\ny\\unknow\\z \end{matrix}\right)\)
  再往后完全没看懂，有空再说。