关于环的一些证明

DFS搜索树上有返祖边，等价于图中至少存在一个环。

充分性显然，必要性。

如果是无向图，那就只有树边和返祖边，不存在横插边，没有返祖边那就是一棵树，与图中有环矛盾。

有向图多了横叉边，但是这样不是环，是个DAG，也矛盾。

这个结论常用于深搜判环。

在Fish Graph一题中，dfs只能找到一个任意环，但是因为我们有保证环上至少有一个度数不小于4的点（起点），所以这个环要么满足题意，要么一定可以调整得到一个新的符合题意的环，而且这个新环必然在回溯的过程中被更新到，所以这样dfs是正确的。

这个做法毫无一般性。

AlexWEI的BFS的做法值得研究一下。

下面证明，BFS中找出的环，一定是极小环。

注意，只是极小的环，不是最小的环，BFS也只能找出任意环，但是可以保证任意环是一个极小的环。

假设它不是极小的环。

那么环内就还有一条边，而且由于BFS树中的非树边只能在同一层或者相邻两层，所以里面的更小的环必然更早被搜到，那么这个任意环就不是被搜到的环了。

严谨地证明，需要分类讨论环的点数的奇偶性，然后反证。

BFS树上没有返祖边，只有横插边，而且层数不能相差超过1，如果没有走到横插边，那么就是树，就没有环了，矛盾。（所以也是等价于至少存在一个环，而且一定走到的是极小环）。