Insertion Sort

想象一下，冒泡排序交换的两个数一定是原数组的逆序对（反证容易证明：如果不是逆序对，相遇之后不会交换。两个数只有在相遇的时候才会使得下标相对大小互换，相遇之前一定是左的在左，右的在右。而不是逆序对的话，相遇的时候也不会交换，所以就一直不会交换）。

因为有序数组一定没有逆序对，所以逆序对一定换完了，所以swap次数就是逆序对总数。

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我的写法是$f_{i,j}$，表示$k\in [j,n]$中$a[k]<a[i]$的$k$的个数。

交换次数就是$f_{1,2}+f_{2,3}+...$。（通过此式可以发现，如果$a[x]<a[y],x,y$，交换二者一定不优）

比如枚举交换的是$x,y,x<y$，那么$x$之前和$y$之后的点的$f_{k,k+1}$都没有改变，对交换次数贡献不变。

对于$x$和$y$，$f_{y,y+1}\to f_{y,x+1}+[a[x]<a[y]?]$，$f_{x,x+1}\to f_{x,y+1}$。

如果通过上面的式子退出来逆序对才要交换，$[a[x]<a[y]]=0$。

现在关键是$[x+1,y-1]$中的数的$f_{k,k+1}$又是如何变化的呢？

昨晚不知道怎么想的，用了权值树状数组查询一段值域的数的个数，其实完全不用。

$a[k]>a[x]$，则$f_{k,k+1}\leftarrow +1$。
$a[k]>a[y]$，则$f_{k,k+1}\leftarrow -1$。

也就是说，要知道$k\in [x+1,y-1],a[k]>t$的数的个数。

数据范围很小，再预处理一个$g_{i,x}$，表示$k\in [1,i],a[k]>x$的数的个数不就行了？

那对答案的贡献不就是$g_{y-1,a[x]}-g_{x,a[x]}-g_{y-1,a[y]}+g_{x,a[y]}$吗？

昨晚把上面的式子合并了，写成了$a[y]<a[k]<a[x]$，要$-1$，其实也可以写成$a[k]<a[x]$，减去$a[k]<a[y]$的。

然后再套一层前缀和预处理，就出来了。