The Parade

本文思路来自伟大的@FxorG

here

二分的单调性：如果$mid$可以，那么小于$mid$的也一定可以（从每排末尾剔除一些人即可）。

主要问题是贪心的选法。

原问题所引出的可能得选人的方案可能是离散的，比如：

2
2 5

当每排人数是2时，一下方案是一种最优解：

1个身高为1的，1个身高为2的
1个身高为1的，1个身高为2的
2个身高为2的

如果把人看成一条柱：

总共3组，我们发现，他们的下标（身高）范围是$[1,2],[1,2],[2,2]$。

也就是说，我们选取的方案之间可能会有交集（就像上面的红色和橙色，虽然相同身高的人与人之间没有区别，但是不管你怎么交换，它们还是“交叉的”）。

先考虑没有交集的情况怎么贪心，也就是说不同身高的人只会被搭配一次。

那么方案大概长这样：

把人看成线段上的点，那么选法就是一条条线段，每个人只能被分进一排，等价于点只能被覆盖一次，也就是P1803 凌乱的yyy / 线段覆盖。

为了方便理解，先把人标上编号，看成有区别的。

这个时候有点问题，就是人可能不是连续的：

但是因为人实际上没有区别，你可以把它们移动到贴在一起，变成连续的。上述“交叉”的方案就是阻碍了我们将方案变成连续的一段段线段。

现在考虑如何去调整有“交叉”的选法，让它变成连续的线段。

其实就是说身高差了1的两种人最多只会配对一次。

假设在$i,i+1$处有交叉，也就是$i,i+1$配对了两次。

假设第一排中$i,i+1$人数分别是$a,b$，第二排中人数分别是$c,d$，则有$a+b=len,c+d=len$。

我们想要让它们分成自己内部的一条线段和一条跨身高的线段。

$a+b+c+d=2len$，则必然有$a+c\ge len$或$b+d\ge len$。（反证，假设都$<len$，矛盾）。

于是必然可以把它们中的一部分分到自己内部和跨身高的部分。

然后就是线段覆盖问题了，因为区间长度一样，左端点排序等价于右端点排序。