P8867 [NOIP2022] 建造军营

这道题想了很久，终于想出来了，非常抽象。

经过一番无脑推导，我们发现u里面有没有军营，是否与根连通，u的子树有没有军营，……都对方案数有影响，然后我就一直修修改改，事实证明，当发现越来越多题目条件中被忽略的细节时，一定不要嫌麻烦，要从头开始设置状态。

首先我们发现，子树中有没有军营对于与子树相连的边选不选是有影响的，也就是说对状态多了一个限制：有没有军营。

然后就会想：子树如果没有军营，儿子边可选可不选；有军营，就一定要选……等等，一定要选吗？如果只选了一个儿子，而且u没有军营的话，其实是可以不选的，然后我尝试加加减减乘乘除除。然后你会发现，子树有军营，但是没和v连在一起，就算儿子边选了，u和军营还是不连通，……根本算不出来……于是整理一下思路。

我们注意到，dp难以转移的关键在于子树中军营与u的连通性（只选一个儿子，可以不连通，选了多个儿子，又一定要连通）。

1. 如果子树中恰好只有一个儿子v，T(v)中有军营，那么它与u是否连通是无所谓的。

2. 如果子树中有超过两个儿子v，T(v)中都有军营，那么它们就一定要与u连通（也就一定要与v连通）。

考虑T(v)，此时多了一个限制条件，即“T(v)中的军营与v是否连通”。

f(u,0)表示没有军营的方案数。
f(u,1)表示有军营，并且军营与u连通的方案数。
f(u,2)表示有军营，并且军营与u不连通的方案数。

由于每次分类是不重不漏的，所以答案就是有军营的方案，也就是有军营、连通或有军营、不连通的和，即f(u,1)+f(u,2)。

考虑转移（记u到儿子的边为儿子边）：

f(u,0)：因为T(u)都没有军营，（其实可以用公式算，但是我懒），所以每个儿子都一定不选，而且儿子边选也可以，不选也可以，所以就是每个2*f(v,0)乘起来，最后乘上u自身的方案（没有军营，方案等于点的方案乘上边的方案，也就是$1\times 2^{cnte(u)}$）。

f(u,1)：先考虑单个儿子v，如果T(v)里面有军营（注意，不是v里面有军营，这也是之前推错的原因），那么它一定要和u连通，也就是边一定选：1*f(v,1)；如果T(v)没有军营，那么边可选可不选，也就是2f(v,0)，注意到这里是分类，所以用加法原理，每个子树的方案就是 $f(v,1)+2f(v,0)$。

自然地想到，每个儿子用乘法原理乘起来就行了，最后再乘上u的方案即可。

这里重点来了：每次写完转移之后，都要考虑这样转移是否充要。上述写法就是说：所有儿子，要么选并且连通，要么不选的方案数。而这样的集合里面有没有军营的方案数，而状态定义中是要求一定要有军营的，所以要减去多出来的方案。

我们会发现，全部不选，也就是u不选点，儿子也不选点，那么也就是T(u)没有军营，那不就是f(u,0)么？

所以减去f(u,0)就行了。

f(u,2)：同样，考虑单个儿子v，……

然后你就会发现方案数统计多了，这时候把所有方案画出来，一一与题设比对，找出不合法的方案，并将其剔除。

于是我们发现，如果军营不与u连通，那么只能有一个子树有军营。（不然两个军营之间没有保护的边，不符合题意）。

所以我们枚举这个有军营的儿子，其它儿子都没有军营，儿子边自然是可选可不选。因为这个有军营的儿子与u不相连，考虑儿子边的选法：选，则v和u相连了，军营不能和v连通，所以是f(v,2)；不选，则v和u不相连，那么军营和v连不连通就无所谓了，所以是f(v,2)+f(v,1)。合起来就是2f(v,2)+f(v,1)。其它儿子都不能选，那么用一个累乘和逆元搞一下就行了。

上述选法会统计恰好一个子树有军营，且与u不连通的方案数，符合状态设计。

然后就拿下啦！

CODE

总结一下：

1. 推导的时候，肯定会逐渐发现一些没有注意到的题目细节要求，当细节越来越多，状态会越来越乱，此时要重新定义状态。
2. 列出所有发现的要求，列出来，抽象概括出若干个能够符合所有要求的根本要求，比如本题的根连通性和是否有军营。
3. 然后根据每一个要求，依次分类讨论，其实本来是要有4类的，但是因为没有军营就不需要考虑连通性了（都没有点哪来连通性问题），所以本题只有3个状态。
4. 推出式子之后记得返回去检查这样统计出来的方案数是否充要。
5. 树形DP，可以先考虑每一个儿子，然后推出一个必要条件的方案数（每一个儿子都必须这样），然后再剔除不合法的方案（其实几乎所有情况都是状态定义中有要求至少XXX，但是求出来的情况包括了全部都没有的情况）。

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update: 2023/9/23

昨天的想法，停留在对于一个集合，用闫氏DP分析法划分集合，最后通过组合计数求得集合方案数，这种方法在情况过于复杂时难以正确求解。

这篇题解 中的思路本质上和闫氏DP分析法不一样，所以昨天没看懂。

文中DP转移的核心逻辑是：假定当前已经遍历完了若干个子树（可能没有），并且此时f(u,0)和f(u,1)的值都是正确的，那么加入新的子树v之后，f(u)应该变为什么。

考虑每新增一个子节点v对f(u,1)产生的贡献

如果每一步都是正确的，那么最后，也就是考虑到了整颗树T(u)时，自然是正确的了。

可以理解为多设置了一个状态f(u,1,i)，表示考虑u的前i个儿子时的方案数，然后每次多一个儿子进行转移，只是最后一维没有显示地写出来而已。

这种思路每次只需要考虑一棵子树的贡献，相比之下，本题使用闫氏DP分析法，就要同时考虑所有子树的贡献，显然前者思路上更为清晰，可行性更强。

他最后统计答案时，使用的是闫氏DP分析法：我们考虑将所有可行方案分类，根据状态表示“有军营，且与u连通”的方案数，及常见的根据最值分类的原则。这里的方案又是一棵树上的，与u连通，意味着军营通过保卫的边能到达的深度最小的点是u。

上述是一个感性推导，有了思路之后，来严谨分类。

将所有方案按照其中军营能通过保卫的边到达的深度最小的点u分类。

注：根据题意，任意两个军营必然有至少一条只通过保卫边的路径可达，否则他们就会因为B国的袭击而分开。

T(u)中的方案，根据定义，就是f(u, 1)；接下来考虑T(u)外的方案。

• 考虑点

T(u)外深度不小于u的点（形象理解为兄弟节点及其子树），如果里面有军营，比如边双连通分量v，那么根据题意，v和u就必然有一条路径相连，而且因为是在树上，那么这条路径必然经过它们的最近公共祖先，而公共祖先的深度一定小于u（u和v是兄弟节点），与u是深度最小的点矛盾，所以不可能选。

如果有T(u)外深度小于u的点选了，那么就与u是能抵达的深度最小的点矛盾，所以不可能。

综上，T(u)外的点肯定不选，方案数是1。

• 考虑边

不难发现，因为点都一定不选，所以军营能到达的点全部由u到其父亲的边所决定，也就是u到fa的边一定不能选（不然矛盾，fa深度更小），其他边随便选。

也就是 $2^{m-E(u)-1}$。

需要注意，根节点1是没有父节点的，所以不需要减1，此时方案数是 $2^{m-m}=1$。

最后将T(u)内、外的方案数乘起来，就是答案了。