Tarjan

无向图的割点

先给出几个定理：

• A：一棵树中的所有结点对于任意结点的可达性一致。

记 $p(u,v)\mathrm{表}\mathrm{示}u\mathrm{和}v\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{相}\mathrm{互}\mathrm{到}\mathrm{达}$。
也就是说，如果G是一棵树，那么 $\mathrm{\forall }u,v\in G,\mathrm{\forall }k,p(u,k)⟺p(k,u)$。

• B：一个无向图的DFS树中，对于任意一个非树边$(u,v)$，$u,v$一定有祖先孩子关系。

如果连到了左边的兄弟上，那么DFS树就不会是当前形态了，$(u,v)$一定是非树边。

同样，如果连到了右边的兄弟上，也是矛盾。（画个图就知道了）

所以，只可能连到祖先或者子树中的孩子上。

• C：点u是割点等价于以u为根的子树G中，存在一个点v，使得v不通过点u，能够到达的所有点都在G中。

正方向：如果不存在，也就是说G里面的x，都可以不通过点u到达G外的点，删去u后，连通性不变，与u是割点矛盾。

反方向：删去点u后，点v此时能到达的点就是原图中不通过点u能到达的点，而点v不能到达G外的点，由定理A，v所在的子树（挂在u上）会形成一个新的连通分量，所以u是割点。

• D：定义 $low[u]$（$u$的父亲是$fa$） 为点u及其孩子通过一条非树边能够到达的时间戳最小的点的时间戳（和$dfn[u]$取个最小值）。那么u是割点等价于$\mathrm{\exists }v\in E(u),low[v]\ge dfn[u]$，其中 $E(u)$ 是u的儿子的集合。

正方向：如果u是割点，由C，存在一个v，……。在这个v所属的挂在u上的子树中，由A，所有点的可达性一致，所以找到该树中u的直接儿子s，则s也满足……。从s出发，只经过非树边的路径，若不经过u，所以可到达的所有点的一定在$G(u)$中，满足；若经过u，也满足。（子树里的dfn肯定更大）

反方向：v出发的所有路径中（不经过u），可以分为经过非树边和不经过非树边两种。

经过非树边的情况：假设终点不在 $G(u)$ 中，设第一个走非树边的点是 $(i,j)$ ，则 $i\in G(v)low(i)\le dfn(j)$，根据定义$low(v)\le low(i)\le dfn(j)$ ，而 $dfn(j)<dfn(u)$，这与 $low(v)\ge dfn(u)$ 矛盾。

不经过非树边：走的全部都是树边，肯定就不会跑出子树了。