246. 区间最大公约数

原题链接

区间修改操作之后，最大公约数无法维护，但是单点修改之后，最大公约数是可以维护的。

这里有一个蛮重要的结论。

注：$(S)$表示集合S的最大公约数。

$(a_1,a_2,...a_n)=(a_1,a_2-a_1,a_3-a_2,...,a_n-a_{n-1})$

证明：

设$d$是$a_1,a_2,...,a_n$的一个公约数（注意，不是最大）。

所以$d|a_1,d|a_2,...d|a_n$。

设$a_1=k_{1}d$，$a_2=k_{2}d$。

$a_1-a_2=k_{1}d-k_{2}d=d(k_1-k_2)$，

所以$d|(a_1-a_2)$。

同理可得，$d$也是$a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1}$的一个公约数。

不妨令$d=(a_1,a_2,...a_n)$，而最大公约数大于等于任何一个公约数。

所以$(a_1,a_2,...a_n)\le (a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})$。

类似地，令$d=(a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})$。

所以$d|a_1,d|a_2-a_1,...,d|a_n-a_{n-1}$。

令$a_1=k_{1}d,a_2-a_1=k_{2}d$。

则$a_2=(a_2-a_1)+a_1=k_{2}d+k_{1}d=(k_1+k_2)d$，所以$d|a_2$。

同理，$d$是$a_1,a_2,...,a_n$的一个公约数。

又因为最大公约数大于任何一个公约数，所以：

$(a_1,a_2,...,a_n)\ge (a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})$

综上，$(a_1,a_2,...,a_n)=(a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1})$。

---

回到原题，我们可以维护一个差分数列，这样$[L,R]$的最大公约数就是$(a_L,query([L+1,R]))$，而且只有单点修改，容易维护最大公约数，由于要用到原值，在维护一个区间和sum即可。

CODE