并查集总结

前言

前几天看到并查集的题目，竟然只会最简单的并查集，看来带权并查集和扩展域并查集还要是好好写个笔记复习复习的。

时间复杂度

如果仅仅使用路径压缩的并查集，时间复杂度似乎并不是$O(\alpha (n))$，详情见这里。

扩展域并查集

yxc给出了一种简单易懂的理解扩展域并查集的方式：将并查集中的元素看成一个个条件，两个元素在一个集合中的意义是：如果有一个条件，那么整个集合中的条件都成立。

我来形式化一点：并查集中的每一个元素都是一个语句$p$，每一个集合$S$都是一个命题：

$\mathrm{如}\mathrm{果}p(p\in S)，\mathrm{那}\mathrm{么}q(q\in S,q\ne p)。$

这样就十分容易理解了。

例如：P2024 [NOI2001] 食物链

注：(x)指并查集中编号为x的元素。

我们定义：

• (x)表示第x个动物是A
• (x+n)表示第x个动物是B
• (x+2n)表示第x个动物是C

这样动物之间的关系就十分清晰了，合并的时候只需满足题意即可。

x和y同类：

• 如果(x)，那么(y)；如果(x+n)，那么(y+n)；如果(x+2n)，那么(y+2n)。

x吃y：
由于A吃B，B吃C，C吃A，所以：

• 如果(x)，那么(y+n)；如果(x+n)，那么(y+2n)；如果(x+2n)，那么(y)。

判断矛盾同理。

CODE

带权并查集

我们维护一个点到根节点的“距离”（这个“距离”是根据题意抽象得出的，而非真实的距离），以得出该点与集合中其它点的关系。

通常，关系有几种，距离就有几种，具体地，如果有$n$种关系，就有$n$种距离，为了方便，一般将距离定义为$[0,n-1]$，这样可以使用取模运算方便地得出两点间相对关系。

还是上面的例题，这次使用带权并查集来做。

两只动物之间的关系只有3种，所以我们定义距离：

• 0：与根节点同类
• 1：被根节点吃
• 2：吃根节点

注：x->y意为x吃y

红色的边是根据题意的环形结构推理得出的。

所以，我们会发现当且仅当$d_x+1\equiv d_y(mod3)$时，x吃y。

同类自然就不用讲，只要$d_x\equiv d_y(mod3)$，x和y就同类。

判断矛盾同理。

维护$d_x$时，只需要暴力维护到根的权值之和即可。这为何是正确的呢？直观地理解，每一个结点都吃更深一层的结点，到了第3层，刚好完成一个循环，也就是第3层的结点和第0层的是同类，
而我们判断关系时又是在同余下处理的，所以自然是正确的。

需要注意的是，如果不做特殊处理，直接累加距离的话，可能会导致距离倍增并溢出。

解决办法有两个：

1. 对$d_x$取模；
2. 在更新$d_x$时，只累加$[0,n-1]$的值（正余数）。

对比

扩展域并查集更加直观、易懂，不易写错，但是也有缺点，就是空间占用过多。

带权并查集关系较为复杂，用到了同余的知识，可能会吃数学的亏（like me），但是空间占用小。

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题单

P2294 [HNOI2005]狡猾的商人
（带权并查集）