组合数学中的常见定理&组合数的计算&取模

 

组合数的性质：

C(n,m)=C(n,n-m);

C(n,m)=n!/(m!(n-m)!);

组合数的递推公式：

C(n,m)=  C(n-1,m-1)+C(n-1,m);

 

组合数一般数值较大,题目会要求取模;而求组合数的过程中一般会用到除法,所以会涉及除法取模的知识;

在除法取模的过程中,一般会求一个乘法逆元;

乘法逆元的定义:满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元;

求乘法逆元的方法：

(b/a)modp;(a|b)p为质数;

1.欧拉定理或者费马小定理：

　　费马小定理是欧拉定理的特殊情况;

　　费马小定理的定义及证明：链接

　　　　由得b/a=(b/a)*(a^p-1modp)=b/a*a^p-1modp=b*a^p-2modp;

　　　　除法就被消去了;

　　　　而这样做还有一个问题就是p-2一般很大,(因为p一般都取1e9+7,NND,我记得有次BC的题是1e8+7直接把我坑惨了);这时就用快速幂求啦;

　　　　附上快速幂的模板：

　　　　

ll fsat_pow(ll a,ll b)
{
    ll s=1,base=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            s*=base;
            s%=mod;
        }
        base*=base;
        base%=mod;
        b=(b>>1);
    }
    return s;
}

 

 

2.扩展欧几里得算法:

 

 

当n,m都很大不能一个一个数相乘得到时,这时就需要Lucas定理了;(有心情有时间再来写)