秋心无波

摘要： 一、a的异于1，-1，a，-a的因数称为a的非平凡因数，或a的真因数。二、（1）n为正整数，则，an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1).(2)当n为正奇数时，an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+……-abn-2+bn-1)三、（1）任何奇数的平方与1的差都能被8整除； （2）任何整数的平方被4除的余数为0或1，被3除的余数为0或1,。 （3）任何整数的立方被9除为,1或8，四、形如Fn=22^n+1（n是自然数）的数称为费马数，当m>n>=0时，费马数满足Fn|Fm-2 阅读全文

摘要： 设M=52003+72004+92005+112006，求证8|M。证明：前提：对于，52003让我们去构造8，即用8-3替换5第一步：用8-3替换5，且仅替换一个,第二步：进行分项，则前一项可以被8整除，余下另一项第三步：对余下的一项继续用8-3替换一个5第四步：分项再一次留下一项；进行循环，最终留下一项-32003对其他三项进行相似的操作的12004，12005，32006则，对-32003，32006进行变换得，-3*91001，91003,最后得到的是-3+1+1+1=0.所以，命题得证，8|M。 阅读全文

摘要： 已知整数m,n,p,q适合(m-p)|(mn+pq)证明:(m-p)|(mq+np)证明：令（mn+pq）—（mq+np）=mn-np+pq-mq=n（m-p）+q（p-m）=（n-q）（m-p）所以，ma+np一定可以被m-p整除。 阅读全文

摘要： 证明：一个整数a若不能被6整除，则a2+24必能被24整除。证明：因为，a不能被6整除所以，a不可以同时被2和3整除所以，a一定是一个奇数，所以，令a=2k+1，k是整数；又因为，a2+23=（a2-1）+24所以，只需证a2-1可以被24整除即可.所以，a2-1=（2k+1）2-1 =4k2+4k =4k（k+1）又因为，k，k+1中必有一个偶数所以，8|a2-1又因为，a-1，a，a+1为连续的三个整数所以，a-1，a，a+1的积一定可以被3整除。所以，3|（a-1）a（a+1）=a（a2-1）又因为，a不能被3整除所以，3|（a2-1）又因为，3和8互质所以，24|（... 阅读全文

摘要： 1073. Square CountryTime limit: 1.0 secondMemory limit: 64 MBThere live square people in a square country. Everything in this country is square also. Thus, the Square Parliament has passed a law about a land. According to the law each citizen of the country has a right to buy land. A land is sold in 阅读全文

摘要： 10个男孩和n个女孩共买了n2+8n+2本书，已知他们每人买的书本的数量是相同的，且女孩人数多于南海人数，问女孩人数是多少？解：因为，每个人买的书本的数量是相同的，所以，10|n2+8n+2所以，n2+8n+2=n2+10n-2n+2-20+20 =n（n+10）-2（n+10）+22又因为，n（n+10）和2（n+10）均可以被（n+10）整除，故，22也可以被n+10整除；所以，n=12； 阅读全文

摘要： 设正整数n的十进制表示为n=ak……a1a0(0<=ai<=9,0<=i<=k,ak!=0),n的个位为起始数字的数字的正负交错之和T（n）=a0+a1+……+（-1）kak，证明：11|n的充分必要条件是11|T（n）；证明：由题意可得n=（ak*10k）+……+（a1*101）+a0；所以，n-T（n）=a1（10+1）+a2（102-1）+……+ak（10k-（-1）k）；对于所有的0<=i<=k，由11|（10i-（-1）i），故上式右端k个加项中的每一项都是11的倍数，所以他们的和也被11整除； 阅读全文

摘要： 设n是奇数，证明：16|（n4+4n2+11）解:令n=2k+1，k∈zn4+4n2+11=(2k+1)4+4(2k+1)2+11=(4k2+4k+1)2+(2k+1)2+11=16k4+16k3+k2+16k3+16k2+4k+4k2+4k+1+16k2+16k+4+11=8(2k4+4k3+5k2+3k+2)注：2k2 肯定是偶数;4k3肯定是偶数;5k2和3k同奇偶,所以5k2+3k肯定是偶数；2是偶数。所以，2k4+4k3+5k2+3k+2肯定是偶数。即，2k4+4k3+5k2+3k+2肯定能被2整除。所以，n4+4n2+11肯定能被16整除；命题得证； 阅读全文

摘要： 1353. Milliard Vasya's FunctionTime limit: 1.0 second Memory limit: 64 MBVasya is the beginning mathematician. He decided to make an important contribution to the science and to become famous all over the world. But how can he do that if the most interesting facts such as Pythagor’s theorem are 阅读全文

摘要： 1353. Milliard Vasya's FunctionTime limit: 1.0 second Memory limit: 64 MBVasya is the beginning mathematician. He decided to make an important contribution to the science and to become famous all over the world. But how can he do that if the most interesting facts such as Pythagor’s theorem are 阅读全文