FFM原理及公式推导

上一篇讲了FM（Factorization Machines），今天说一说FFM（Field-aware Factorization Machines ）。

回顾一下FM：

\begin{equation}\hat{y}=w_0+\sum_{i=1}^n{w_ix_i}+\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{v_i\cdot v_jx_ix_j}}\label{fm}\end{equation}

$\cdot$表示向量的内积。样本$x$是$n$维向量，$x_i$是第$i$个维度上的值。$v_i$是$x_i$对应的长度为$K$的隐向量，$V$是模型参数，所以所有样本都使用同一个$V$，即$x_{1,1}$与$x_{2,1}$都使用$v_1$。

在FFM（Field-aware Factorization Machines ）中每一维特征（feature）都归属于一个特定的field，field和feature是一对多的关系。比如

field	field1年龄	field2城市			field3性别
feature	x1年龄	x2北京	x3上海	x4深圳	x5男	x6女
用户1	23	1	0	0	1	0
用户2	31	0	0	1	0	1

1. 对于连续特征，一个特征就对应一个Field。或者对连续特征离散化，一个分箱成为一个特征。比如

field	field1年龄
feature	小于20	20-30	30-40	大于40
用户1	0	23	0	0
用户2	0	0	31	0

 

2. 对于离散特征，采用one-hot编码，同一种属性的归到一个Field

不论是连续特征还是离散特征，它们都有一个共同点：同一个field下只有一个feature的值不是0，其他feature的值都是0。

FFM模型认为$v_i$不仅跟$x_i$有关系，还跟与$x_i$相乘的$x_j$所属的Field有关系，即$v_i$成了一个二维向量$v_{F\times K}$，$F$是Field的总个数。FFM只保留了(\ref{fm})中的二次项.

\begin{equation}\hat{y}=\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{v_{i,fj}\cdot v_{j,fi}x_ix_j}}\label{ffm}\end{equation}

以上文的表格数据为例，计算用户1的$\hat{y}$

$$\hat{y}=v_{1,f2}\cdot v_{2,f1}x_1x_2+v_{1,f3}\cdot v_{3,f1}x_1x_3+v_{1,f4}\cdot v_{4,f1}x_1x_4+\cdots$$ 

由于$x_2,x_3,x_4$属于同一个Field，所以$f2,f3,f4$可以用同一个变量来代替，比如就用$f2$。

$$\hat{y}=v_{1,f2}\cdot v_{2,f1}x_1x_2+v_{1,f2}\cdot v_{3,f1}x_1x_3+v_{1,f2}\cdot v_{4,f1}x_1x_4+\cdots$$ 

我们来算一下$\hat{y}$对$v_{1,f2}$的偏导。

$$\frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{v_{1,f2}}}=v_{2,f1}x_1x_2+v_{3,f1}x_1x_3+v_{4,f1}x_1x_4$$

等式两边都是长度为$K$的向量。

 注意$x_2,x_3,x_4$是同一个属性的one-hot表示，即$x_2,x_3,x_4$中只有一个为1，其他都为0。在本例中$x_3=x_4=0, x_2=1$，所以

$$\frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{v_{1,f2}}}=v_{2,f1}x_1x_2$$

推广到一般情况：

\begin{equation}\frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{v_{i,fj}}}=v_{j,fi}x_ix_j\label{par}\end{equation}

$x_j$属于Field $fj$，且同一个Field里面的其他$x_m$都等于0。实际项目中$x$是非常高维的稀疏向量，求导时只关注那些非0项即可。

你一定有个疑问：$v$是模型参数，为了求$v$我们采用梯度下降法时需要计算损失函数对$v$的导数，为什么这里要计算$\hat{y}$对$v$的导数？看看分割线下方的内容你就明白了。

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 在实际预测点击率的项目中我们是不会直接使用公式(\ref{ffm})的，通常会再套一层sigmoid函数。公式(\ref{ffm})中的$\hat{y}$我们用$z$来取代。

$$z=\phi(v,x)=\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{v_{i,fj}\cdot v_{j,fi}x_ix_j}}$$

由公式(\ref{par})得

$$\frac{\partial{z}}{\partial{v_{i,fj}}}=v_{j,fi}x_ix_j$$

用$a$表示对点击率的预测值

$$a=\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{1}{1+e^{-\phi(v,x)}}$$

令$y=0$表示负样本，$y=1$表示正样本，$C$表示交叉熵损失函数。根据《神经网络调优》中的公式(1)(2)可得

$$\frac{\partial C}{\partial z}=a-y=\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{1+e^z} & if\ y是正样本 \\ \frac{1}{1+e^{-z}} & if\ y是负样本\end{matrix}\right . $$

$$\frac{\partial C}{\partial{v_{i,fj}}}=\frac{\partial C}{\partial z}\frac{\partial{z}}{\partial{v_{i,fj}}}$$

 看完了本博客再去看论文《Field-aware Factorization Machines for CTR Prediction》中的公式推导应该就比较容易了吧，在该论文中他是以$y=1$代表正样本，$y=-1$代表负样本，所以才有了3.1节中的

$$\kappa=\frac{\partial C}{\partial z}=\frac{-y}{1+e^{yz}}$$

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加速计算

关注(\ref{ffm})式，当$x$都是one-hot时可以写成

$$\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{V_{i,fj}V_{j,fi}}}$$

公式通过变形可以减少计算量，这里要分两种情况:$i$和$j$是否属于同一个Field。

$i$和$j$不属于同一个Field

$$\sum_{i\in Filed1}\sum_{j\in Filed2}V_{i,f2}V_{j,f1}=\sum_{i\in Filed1}V_{i,f2}\sum_{j\in Filed2}V_{j,f1}$$ 

举个例子，比如$a$、$b$、$c$属于Field1，$d$、$e$属于Field2，则$ad+ae+bd+de+cd+ce=(a+b+c)(d+e)$。只需要一次乘法。

$i$和$j$属于同一个Field

\begin{eqnarray*}
\begin{aligned}
\sum_{i=1}\sum_{j=i+1}V_{i,f}V_{j,f}&=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}\sum_{j=1}V_{i,f}V_{j,f}-\sum_{i=1}V_{i,f}^2\right]\\
&=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}V_{i,f}\sum_{j=1}V_{j,f}-\sum_{i=1}V_{i,f}^2\right]\\
&=\frac{1}{2}\left[\left(\sum_{i=1}V_{i,f}\right)^2-\sum_{i=1}V_{i,f}^2\right]
\end{aligned}
\end{eqnarray*}

举个例子，比如$a$、$b$、$c$属于同一个Fied，则$ab+ac+bc=\frac{1}{2}[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]$。乘法计算量由$O(n^2)$ 降为$O(n)$，$n$表示该Field内有几个特征。