卡特兰数Catalan Number

Catalan Number满足下列递推公式：

$h(0)=1$

$h(n)=\frac{h(n-1)*(4n-2)}{n+1}\quad\quad\cdots\cdots(1)$

$h(n)=h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2)+h(2)h(n-3)+\cdots+h(n-1)h(0)\quad\quad\cdots\cdots(2)$

$h(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\quad\quad\cdots\cdots(3)$

N个元素元素进栈，多少种出栈方式

考虑A、B、C、D依次进栈，那么所有的出栈顺序是下列4种情况的并集：

1）A第一个出栈。肯定是A进栈后马上出栈，剩下B、C、D的出栈顺序有h(3)种。h(0)*h(3)。

2）A第二个出栈。在A之前出栈的肯定是B，B的出栈顺序有h(1)种，剩下C、D的出栈顺序有h(2)种。h(1)*h(2)。

3）A第三个出栈。在A之前出栈的肯定是B、C，B、C的出栈顺序有h(2)种，剩下D的出栈顺序有h(1)种。h(2)*h(1)。

4）A第四个出栈。在A之前出栈的肯定是B、C、D，B、C、D的出栈顺序有h(3)种。h(3)*h(0)。

h(4)=h(0)*h(3)+h(1)*h(2)+h(2)*h(1)+h(3)*h(0)

买票找零问题

有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

来一位持5元的顾客记为+1（使剧院多了一张5元的零钱），来一位持10元的顾客记为-1（使剧院少了一张5元的零钱）。那么购票顺序可表示一个包含n个1和n个-1的序列，要求符合条件：

对于任意的K（ $0\le{k}\le{N}$ ），都有序列的前K项和不小于0。

下面我们要证明所有不符合条件的序列跟一个包含n-1个1和n+1个-1的序列是一一对应的。

1）一个不符合条件的序列对应唯一一个包含n-1个1和n+1个-1的序列。如果一个序列不符合条件，则必然在某个奇数位K上使得前K个数中-1的个数比+1的个数多1，也就是说第K位以后（不包含K）1的个数比-1的个数多1。现在我们把第K位以后（不包含K）的1改为-1，-1改为1，则整个序列中包含n-1个1和n+1个-1。

2）一个包含n-1个1和n+1个-1的序列对应唯一一个不符合条件的序列。一个包含n-1个1和n+1个-1的序列必然在某个奇数位K上使得前K个数中-1的个数比+1的个数多1，也就是说第K位以后（不包含K）1的个数比-1的个数多1。现在我们把第K位以后（不包含K）的1改为-1，-1改为1，刚好就对应一个个不符合条件的序列。

长度为2n的序列中出现n个1和n个-1的可能情况有 $C_{2n}^n$ 种，长度为2n的序列中出现n-1个1和个n+1-1的可能情况有 $C_{2n}^{n+1}$ 种，所以满足条件的情况的 $C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}$ 种。