【 HYSBZ - 2440 】完全平方数 （莫比乌斯函数容斥）

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。 

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input4 1 13 100 1234567

Sample Output1 19 163 2030745 Hint

 

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

,    T ≤ 50

 

SOLUTION:

首先二分答案 问题转化为求x以内有多少个无平方因子数

根据容斥原理可知 对于√x以内的所有质数 x以内的无平方因子数=无需是任何质数的倍数的数的数量(即x)-是至少一个质数平方倍数的数的数量+是至少两个质数平方倍数的数的数量-是至少三个质数平方倍数的数的数量...

我们回去考虑莫比乌斯函数，我们发现每一个质数乘积的符号与莫比乌斯函数的符号恰好吻合！

因此我没把原先2^k复杂度的容斥变成了o（n） 的容斥

 

CODE:

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#include <cmath>



using namespace std ;



typedef long long ll ;



const ll maxn = 100000 ;



bool f[ maxn + 10 ] ;

ll u[ maxn + 10 ] ;



inline void Init(  ) {

        memset( f , true , sizeof( f ) ) ;

        f[ 1 ] = false , u[ 1 ] = 1 ;

        for ( ll i = 2 ; i <= maxn ; ++ i ) if ( f[ i ] ) {

                u[ i ] = -1 ;

                for ( ll j = i << 1 ; j <= maxn ; j += i ) {

                        f[ j ] = false ;

                        if ( ( j / i ) % i ) u[ j ] = - u[ j / i ] ; else u[ j ] = 0 ;

                }

        }

}



inline ll cal( ll n ) {

        ll ret = ll( sqrt( n ) ) ;

        ll rec = n ;

        for ( ll i = 2 ; i <= ret ; ++ i ) rec += ll( u[ i ] * n / ( i * i ) ) ;

        return rec ;

}



inline ll solve( ll k ) {

        ll l = 0 , r = k << 2 , mid ;
        ll ans;
 /*       while ( r - l > 1 ) {

                mid = ( l + r ) >> 1 ;

                if ( cal( mid ) < ll( k ) ) l = mid ; else r = mid ;

        }*/
        while(l<=r)
        {
            mid = l+r>>1;
            if(cal(mid)>=k)ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }

        return  ans;

}



int main(  ) {

        Init(  ) ;

        ll T ; scanf( "%lld" , &T ) ;

        while ( T -- ) {

                ll k ; scanf( "%lld" , &k ) ;

                printf( "%lld\n" , solve( k ) ) ;

        }

        return 0 ;

}