京东非常精彩的幂数论题目 京东算法题---求幂

//这个才是正确的代码
作者：牛妹
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来源：牛客网

 

 

我们考虑去枚举n范围内的所有i,然后处理出i的幂那些数。 这个i就叫做底.

因为a^b=c^d 那么必然存在一个i s.t.下面的十字成立.这个证明做因数分解即可.
考虑对于i ^ x, 我们需要计算满足 (i ^ x) ^ c = (i ^ y) ^ d的数量,其中i ^ x, i ^ y <= n. 这些我们可以通过预处理出来。

 

然后对于(i ^ x) ^ c = (i ^ y) ^ d 其实意味着x c = y d, 意味着(x / y) = (d / c),(因为c,d可以做到互素) 其中x, y我们可以在预处理之后枚举出来,于是我们就可以借此计算出n范围内有多少不同这种c和d去满足等式。
其实就等于 n / max(x / gcd(x, y), y / gcd(x, y)),然后都累加进答案。gcd()表示最大公约数。
中间可能产生重复枚举,我们用一个set或者hash容器标记一下就好。

以上枚举对于2~sqrt(n)。最后对于大于sqrt(n)的部分,每个的贡献都是n。

import java.util.HashSet;
import java.util.Scanner;
import java.util.Set;
 
public class Main {
 
  public final static long MOD = 1000000000 + 7;
 
  public static int max(int a, int b){
    return (a>b) ? a : b;
  }
 
  public static long gcd(long a,long b){
    return (a % b == 0) ? b : gcd(b,a%b);
  }
 
  public static void main(String[] args) {
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    long n = in.nextInt();
    long ans = (long)1*n*(2*n-1) % MOD;//以1为底的个数,这个计算方式是 1.计算1**x=1**y 有n**2个 2.计算x**y=x**y这个有 n**2-n个 减去这个n表示第一种1里面1为底的已经算过了.
//3.所以下面讨论的情况是(i ^ x) ^ c = (i ^ y) ^ d且x!=y且i>1 这种情况.所以i从2取到根号n.

    Set<Integer> set  = new HashSet<>();
    for (int i = 2; i*i <= n; i++){ //下面的底至少是2,指数至少也是2,所以i**2<=n
      if ( set.contains(i)) continue;
      long tmp = i;
      int cnt = 0;
 
      while(tmp <= n) {
        set.add((int)tmp);
        tmp = tmp * i;
        cnt++;
      }//比如i取2,n=10的时候,那么set就是{2,4,8} cnt=3,之后4,8就不用算了,因为他们属于2这个底
 //cnt表示最高能取多少次幂.
      for(int k = 1; k <= cnt; k++) {
        for(int j = k + 1; j <= cnt; j++) {
          ans = (ans + n / (j / gcd(k, j) ) * (long)2 ) % MOD;
//(j / gcd(k, j) )这个操作就是把k,j这个分数变成互素的.
//比如k取1,j取2的时候,ans=ans+10/2*2:因为(i ^ x) ^ c = (i ^ y) ^ d且x!=y且i>1 所以这时也就是 (i ^ 1) ^ c = (i ^ 2) ^ d ,那么d最高取5个数分别是1到5,因为c<=10
//又如k=2,j=3, (i ^ 2) ^ c = (i ^ 3) ^ d ,那么d最高取3个分别是2,4,6,因为c<=10
//这个地方为什么这么计算呢因为k,j互素化之后,为了乘积xk=jy,那么x必须是j的倍数,但是x必须小于n
//所以x的取法只有n/j种.(这时j已经是(j / gcd(k, j) )了!)
        }
      }
 
    }
 
    System.out.println(ans);
  }
}