四元数的旋转公式计算

1. 复数.
   复数表示二维的一个方向,或者一个二维向量.
   容易证明: a,b,c是复数, a=b*c 能推导出 |a|=|b||c|

用复数的 $r{e}^{i\theta }$表达容易证明.

几何上: 一个数字乘3+4i，就相当于这个数字放大到原来的5倍，再逆时针旋转$arctan\frac{4}{3}$度。 (以为复数在坐标系上表示(x,y)所以表示旋转 arctan y/x)

三维旋转的常规办法那么我们怎么表示三维空间上的旋转呢？有两个办法：1）一个直观的办法是，绕x轴旋转多少度，然后再绕y轴旋转多少度，再绕z轴旋转多少度（实际上绕两个坐标旋转就可以表示所有类型的旋转了）。但是这样有个问题是，得旋转两次。而且这种旋转方式有个问题，就是“万向节死锁”，就是三个旋转轴在某种情况下会“退化”为两个旋转轴。这个有很多视频讲这个，我用文字讲的话不太直观，你找个视频看，一看就懂了。

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那就用四维中的数来表示吧，也就是搞出来一个四元数：一个实轴加上三个虚轴：x=a+bi+cj+dkx=a+bi+cj+dk 这玩意的运算怎么定义呢？i^2=-1,j2=-1,k^2=-1i2=-1,j^2=-1,k2=-1 那么，ijk这三个数字互相乘等于多少呢？可以这么定义：ij=k,jk=i,ki=jij=k,jk=i,ki=j 这个怎么理解呢？就是你看三维的XYZ坐标轴，我们看右手系，你把X转到Y轴，Y转到Z轴，Z转到X轴，这个轴是“不变”的（当然我这么说不严谨，你大概理解就好），就是说三维中的物体做刚体变换，你把XYZ轴转到了YZX轴，你完全可以“等价”地表示这个物体（当然我这里用等价这个词其实很不严谨，你大概理解就好）。我刚才写的ijk的三个式子，就是相当于把XYZ三个坐标给转了一下。再加上一条：ijk=-1ijk=-1
四元数乘法不满足交换律

但是到三维中就不是这么回事了，一个魔方，你先绕着x轴逆时针转90度，在绕着y轴逆时针转90度，和你先绕y轴逆时针转90度，再绕x轴逆时针转90度，效果是不一样的。这是因为，三维中的旋转，不止一个旋转轴。

四元数可以理解为复数的扩展。一个复数，它的实轴单位是1，虚轴单位是i， $1\times 1=1,i\times i=-1,1\times 1=1,i\times i=-1$，这个的一种理解方式是，虚轴上的数字相当于旋转90度，旋转两次就旋转到了180度，转到了实轴上的负半轴。

这里面$\times 1$ 表示把一个复数的实部放大多少倍. $\times i$表示逆时针旋转90度.(从欧拉表达来看), 所以 $\times i\times i$ 表示旋转2次逆时针90度. 所以等于 模长不变, 辐射角加 180度. 从欧拉公式知道e的ipi次幂等于-1.