【算法问题】如何实现大整数相加
如何实现大整数相加
摘自漫画算法：
题目：给出两个很大的整数，要求实现程序求出两个整数之和。
注意：很多人第一想法就是直接用long存储，在程序里相加不就行了；但是如果这两个整数大得连long类型都装不下呢？比如两个100位的整数？
解题思路
在讲解大整数相加之前，先来回顾一下小学数学课，在上小学时，我们通过列竖式计算两个较大数目的加、减、乘、除；那么，为什么需要列出竖式来运算呢？这是因为对于这么大的整数，我们无法一步到位直接算出结果，所以不得不把计算过程拆解成一个一个子步骤。其实不仅仅是人脑，对于计算机来说也同样如此。程序不可能通过一条指令计算出两个大整数之和，但我们却可以把大运算拆解成若干个小运算，像小学生列竖式一样按位计算。
如果大整数超出了long类型的范围，该如何来存储这样的整数呢？
对于这个问题很好解决，用数组存储即可。数组的每一个元素，对应着大整数的每一个数位。
在程序中列出的”竖式“究竟是什么样子呢？我们以426 709 752 318 + 95 481 253 129为例，来看看大整数相加的详细步骤。
1、创建两个整型数组，数组长度是较大整数的位数+1.把每一个数组倒序存储到数组中，整数的个位存于数组下标为0的位置，最高位存于数组的尾部。之所以倒序存储，是因为这样更符合从左到右访问数组的习惯。
2、创建结果数组，结果数组的长度同样是较大整数的位数+1，+1的目的很明显，是给最高位进位预留的。
3、遍历两个数组，从左到右按照对应下标把元素两两相加，就像小学生计算竖式一样。在本例中，最先相加的是数组A的第1个元素8和数组B的第1个元素9，结果是7，进位1。把7填充到result数组的对应下标位置，进位的1填充到下一个位置。
第2组相加的是数组A的第2个元素1和数组B的第2个元素2，结果3，再加上刚才的进位1，把4填充到result数组的对应下标位置。
第3组相加的是数组A的第3个元素3和数组B的第3个元素1，结果是4，把4填充到result数组的对应下标位置。
第4组相加的是数组A的第4个元素2和数组B的第4个元素3，结果是5，把5填充到result数组的对应下标位置。
以此类推，一直把数组的所有元素都相加完毕。
4、把result数组的全部元素再次逆序，去掉首位0，就是最终结果。
需要说明的是，为两个大整数建立临时数组，是一种直观的解决方案。若想节省内存空间，也可以不创建这两个临时数组。
代码实现
/**
* 描述：实现大整数相加。
* <p>
* Create By ZhangBiao
* 2020/6/9
*/
public class BigNumberSum {
/**
* 大整数求和
*
* @param bigNumberA 大整数A
* @param bigNumberB 大整数B
* @return
*/
public static String bigNumberSum(String bigNumberA, String bigNumberB) {
// 1、把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于较大整数位数+1
int maxLength = bigNumberA.length() > bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() :
bigNumberB.length();
int[] arrayA = new int[maxLength + 1];
for (int i = 0; i < bigNumberA.length(); i++) {
arrayA[i] = bigNumberA.charAt(bigNumberA.length() - 1 - i) - '0';
}
int[] arrayB = new int[maxLength + 1];
for (int i = 0; i < bigNumberB.length(); i++) {
arrayB[i] = bigNumberB.charAt(bigNumberB.length() - 1 - i) - '0';
}
// 2、构建result数组，数组长度等于较大整数位+1
int[] result = new int[maxLength + 1];
// 3、遍历数组，按位相加
for (int i = 0; i < result.length; i++) {
int temp = result[i];
temp += arrayA[i];
temp += arrayB[i];
// 判断是否进位
if (temp >= 10) {
temp = temp - 10;
result[i + 1] = 1;
}
result[i] = temp;
}
// 4、把result数组再次逆序并转成String
StringBuilder sb = new StringBuilder();
// 是否找到大整数的最高有效位
boolean findFirst = false;
for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {
if (!findFirst) {
if (result[i] == 0) {
continue;
}
findFirst = true;
}
sb.append(result[i]);
}
return sb.toString();
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(bigNumberSum("426709752318", "95481253129"));
}
}
上述代码中，如果给出的大整数的最长位数是n，那么创建数组。按位运算、结果逆序的时间复杂度各自都是O(n)，整体的时间复杂度也是O(n)。不过当前的思路其实还存在一个可优化的地方。
优化方案
我们之前是把大整数按照数位来拆分的，即如果较大整数有50位，那么我们就需要创建一个长度为51的数组，数组中的每个元素存储其中一位数字。
那么我们真的有必要把原整数拆分得这么细吗？显然不需要，只需要拆分到可以被直接计算的程序就够了。
int类型的取值范围是 -2 147 483 648 ~ 2 147 483 647，最多可以有10位整数。为了防止溢出，我们可以把大整数的每9位作为数组的一个元素，进行加法运算。（这里也可以使用long类型来拆分，按照int类型拆分仅仅是提供一个思路）。
如此一来，内存占用空间和运算次数，都压缩到了原来的1/9。
