P1908 逆序对 题解

P1908 逆序对 题解

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题目描述

猫猫 TOM 和小老鼠 JERRY 最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。

最近，TOM 老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中$a_i>a_j$且$i<j$ 的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。注意序列中可能有重复数字。

Update:数据已加强

输入格式

第一行，一个数$n$，表示序列中有$n$个数。
第二行$n$个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过$10^9$

输出格式

输出序列中逆序对的数目。

输入输出样例

输入 #1

6
5 4 2 6 3 1

输出 #1

11

说明/提示

对于 25% 的数据，$n\le 2500$
对于 50% 的数据，$n\le 4\times 10^4$
对于所有数据，$n\le 5\times 10^5$
请使用较快的输入输出

应该不会$O(n^2)$过 50 万吧 by chen_zhe

思路${}_1$

枚举整个数组，从这个数开始往后枚举，挨个判断，时间复杂度$O(n^2)$

$Cod{e}_1$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[500010];
int cnt;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(a[i]>a[j]){
				cnt++;
			}
		}
	}
	printf("%d",cnt);
	return 0;
}

思路${}_2$

考虑一下，是否可以将序列分段，利用合并排序思想；
先分段步长为1，然后使序列有序，计算每一组序列的逆序对数目，然后步长2、4、直到步长等于整个序列
每一组序列a[i]a[j]，如果a[i] < a[j]那么不是逆序对，直接将a[j]复制到新数组里，如果a[i]>a[j]那么a[i]这一段后面所有数据都大于a[j],sum直接加mid-i+1即可(因为序列之从步长递增将每一组序列内部已经排好序了)，最后注意将新数组里面数据复制到a数组相应的位置中。

$Cod{e}_2$

#include  <iostream>
using namespace std;
#define maxn 40001
int a[maxn],temp[maxn];
int sum=0,n;
int MergePass(int left,int mid,int right)
{
    int k=0,i=left,j=mid+1;///将ij分别固定到a数组中的相应位置
    while(i<=mid && j<=right)
    {
        if(a[i]<a[j])///不是逆序队不需要进行考虑
            temp[k++] = a[i++];
        else
        {
            temp[k++] = a[j++];
            sum += (mid-i+1);///如果a[i]>a[j]那么a[i]后面的元素都大于a[j],a[i]后面的元素有mid-i+1个
        }
    }
    ///剩余部分加进去
    while(i<=mid)
        temp[k++] = a[i++];
    while(j<=right)
        temp[k++] = a[j++];
    for(int i=0;i<k;i++)
        a[left+i] = temp[i];///最后将这段改动的数据仍然放在a数组中
}
void MergeSort(int left,int right)
{
    if(left<right)
    {
        int mid = (left+right)/2;
        ///先分段二分
        MergeSort(left,mid);
        MergeSort(mid+1,right);
        ///分好了进行排序
        MergePass(left,mid,right);
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    MergeSort(1,n);
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}