Finding the most probable sequence of hidden states
给出一个HMM，以及某个观测序列，你可能想得到概率最大的那个隐式序列 sequence of hidden states.
1. Exhaustive search for a solution
可以采用执行网格 Execution trellis 来对状态和 观测 observations 的关系可视化：
通过列出所有可能的隐式序列，并对每个序列计算以下概率，可以找到概率最大的隐式序列。
例如对于执行网格中的观测序列，可能的隐式序列概率：![]()
这种方法很直观，可是计算量很大。与 forward algorithm 类似，我们也可以利用概率的时间不变性 time invariance of probabilities 来降低计算复杂度。
2. Reducint complexity using recursion
考虑通过递归的方法来找出最有可能的隐式序列。首先定义
（以下简称 Y），Y是到达某个中间状态的概率。
Partial probability Y 和在 forward algorithm中计算的不同，因为 Y 代表了在时间 t 到达某个状态的最有可能的路径的概率，而不是全部。
2a. Partial probabilities (Y) 和 Partial best paths
对于上述网格，每个 中间 和 终结 状态 (intermediate and terminating state)，都有一个最有可能的路径到达该状态。例如：t=3 时，三个状态的最可能路径可能是这样的：
这些路径成为 partial best paths. 每个 Partial best paths 都有一个概率，称为 partial probability Y。
Y(i,t) 是所有在时间 t 到达状态 i 的所有序列中的最大概率，partial best path 是有最大概率的序列。
特别地，t = T 时，每个状态都有一个 partial probability 以及一个 partial best path。通过选择拥有最大的 partial probability 的路径，可以找出全局的最优路径 overall best path.
2b. Calculating Y's at time t=1
当 t = 1时，到达某状态的最可能路径是并不存在；不过可以使用 t=1时，系统在该状态，且观察状态在 k1的概率来计算：
这和 forward algorithm 中的计算方法是一样的。
2c. Calculating Y's at time t > 1
计算时间 t 到达状态 X 的最可能路径，这个路径需要在时间 t-1 通过状态 A，B 或 C中的某一个。因此到达 X 的最可能路径是其中的一个：
我们希望找出以 AX, BX, CX 结尾的，拥有最大概率的序列。
Markov 假设当前状态的概率只依赖于前 n 个状态的，因此对于 first order markov assumption, X 在某序列发生的概率只依赖于前一个状态。因此以 AX 结尾的，最可能路径的概率是：
因此到 X 的最可能路径的概率是：
其中第一项是由 Y 在 t-1 时刻给出的，第二项是由 transition probabilities 给出的，第三项是由 observation probabilities 给出的。
将以上的公式一般化，可以得到在时间 t 到达状态 i 的 partial best path，且观测状态是 kt 的概率是：
2d. Back pointers, F's
在每个中间和终结状态 (intermediate and end state)，我们都可以得到 partial probabilities, Y(i,t)。然而，我们的目标是在给定观测序列的情况下，找出最可能路径。因此我们需要某种记录下 partial best paths 的方式。
在计算 partial probability 的过程中，Y 在时间 t 的值，我们只需要知道 Y 在 t-1 时刻的值。在计算了这个 partial probability 的情况下，可以记录下是由哪一个状态产生的 Y(i,t) 的。这种记录方法通过为每个状态保持一个 back pointer F 来实现， F 指向上一个时刻产生当前 Y(i,t) 的那个状态。
注意到这个表达式是从 Y 的上一个状态的值以及 transition probabilities 得到的，并不需要包含 observation probability （和计算 Y 是不一样的）。这是因为我们希望 F 可以解决 “通过那个路径最优可能到我所在的这个状态。”这个问题和 hidden states 有关，因由于观测产生的 confusing factors 可以忽略。
2e. Advantage of the approach
采用 Viterbi algorithm 对观测序列进行解码，有两个优势：
1. 计算复杂度降低了；
2. Viterbi algorithm 有很好的性质，可以在整个观测序列的基础上提供最好的解释。
另一种可以用来求得 执行序列的方法是：
其中，
这种方法可能出现偏离正确答案的情况。
然而 Viterbi algorithm 会考虑整个观测序列，然后通过 F pointers （指针） 回溯 backtracking，找出最可能路径。
3. Section Summary
Viterbi algorithm 提供了一种计算方便的分析 HMM观测序列的方法，找出最可能序列。算法通过为每个节点计算 Partial Probability，同时使用一个 back-pointer F 指向如何到达该节点。 在完成计算后，就可以通过 后向指针 找到整个路径。
Definition
Viterbi algorithm definition
1. Formal definition of algorithm
对于 i = 1，。。。, n,
通过 初始隐式状态 (initial hidden state) 的概率以及观测概率 observation probabilities 可以计算 t=1 时的 partial probabilities.
对于 t=2,...,T，i=1,..., n，
因此可以得到 到下一个状态的最可能路径，并记录下是如何到达该状态的。
记录了在 t=T 时刻哪个状态是最可能的。
对于 t=T-1, ... , 1，
可以回溯得到整个最可能的路径。
2. Calculating individual Y's and F's
这里的计算方法和 forward algorithm 中的计算方法类似，不同之处在于 forward algorithm 中采用的是 summation 运算，而这里采用的是 max 运算。 在是因为 forward algorithm 是计算到达某个状态的总概率，而这里计算的是最大概率。
