关于旋转（Rotation）

 

关于旋转（Rotation）

 

很多萌新在接触计算机图形学的时候，不明白为啥要用四元数来表示旋转角度，那这篇文章主要从比较各大旋转角度，在比较中突出四元数的优点和实用。

 

在计算机图形学中，一个物体的位置很容易确定，直接拿到position就可以准确地定位物品的位置，但是其方向（orientation）是一个值得探讨的话题。那么通过旋转角度来可以定义两两orientation之间的改变。“朝向”是状态，“旋转”是操作。

关于旋转这个话题，接下来分成三个步骤，由浅入深地来讨论：

1，旋转矩阵

假设当前的朝向方向是 (x, y, z)    那么旋转可以由旋转矩阵得到：

沿着X轴旋转：

沿着y轴旋转：

沿着z轴旋转：

先沿着X轴转动然后在沿着Y轴转动，很可能就会导致一个问题万向节死锁问题（Gimbal Lock）

　　补充： 出现Gimbal Lock的本质原因在于：当第二次旋转角度为90度时，第三个轴和第一个轴转到了同个方向，因此缺少了一个自由度，导致了运动空间的限制。

 

取代上面方案的是沿着任意轴进行旋转特定的角度 

但这种方法也是不能完全解决万向节死锁问题

 

 

2，欧拉角

针对上面的旋转问题，旋转数据量大，且存在问题，那使用欧拉角 可以使用vec3来存储一个欧拉角

Vec3 EulerAngles(RotationX, RotationY, RotationZ);

欧拉角可以分为三个部分，俯仰角：围绕x轴的pitch，偏航角：围绕y轴的yaw，滚转角：围绕z轴的roll，

 

 

使用欧拉角可以表示任何种类的旋转角度。但是仍存在着一个欧拉角的问题：

对两个朝向进行插值比较难，简单对x，y，z简单插值得到结果不理想；

实施多次旋转很复杂且不准确，必须计算出最终的旋转矩阵，然后据此推测欧拉角

不同角度可产生同样的旋转；

针对有些操作会很复杂；如绕指定的轴旋转N角度。

 

3，四元数，表示旋转的好工具。

四元数是由4个数[x, y, z, w]构成，表示了如下的旋转

x = RotationAxis.x * sin(RotationAngle / 2)

y = RotationAxis.y * sin(RotationAngle / 2)

z = RotationAxis.z * sin(RotationAngle / 2)

w = cos(RotationAngle / 2)

其中 RotationAxis 旋转轴，RotationAngle 旋转的角度。 

这样四元数中实际上存储了一个旋转轴和一个旋转角度。其中xyz分别代表了各个轴上的旋转分量。

其中[0, 0, 0, 1]表示单位四元数 (unit quaternion)，表示没有旋转。

 

3. （1）如何从两个方向向量得到旋转角度：

　　　　　　r = v1 X v2 是旋转轴

　　　　　　O = acos(v1 * v2)  是旋转角度 

　　　　然后带入上面的公式即可。

 

3.（2）如果先转动了q1,再转动了q2, 那么结果转动了q’ = q2 * q1。

 

3.（3） 

 

四元数(quaternion)的好处是：使用角度和坐标轴的表示方法来防止了Gimbal lock的出现；避免了旋转矩阵的运算量和数据量；可以很容易的插值操作