无向图最小割Stoer-Wagner算法学习
无向连通网络,去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集,最小割集当然就权和最小的割集。
使用最小切割最大流定理:
1.min=MAXINT,确定一个源点
2.枚举汇点
3.计算最大流,并确定当前源汇的最小割集,若比min小更新min
4.转到2直到枚举完毕
5.min即为所求输出min
复杂度很高:枚举汇点要O(n),最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度,在复杂网络中O(m)=O(n^2),算法总复杂度就是O(n^5);哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5)),算法总复杂度也要O(n^4) 所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。
------------------------------------------使用Stoer-Wagner算法
1.min=MAXINT,固定一个顶点P
2.从点P用“类似”prim的s算法扩展出“最大生成树”,记录最后扩展的顶点和最后扩展的边
3.计算最后扩展到的顶点的切割值(即与此顶点相连的所有边权和),若比min小更新min
4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点(当然他们的边也要合并,这个好理解吧?)
5.转到2,合并N-1次后结束
6.min即为所求,输出min
prim本身复杂度是O(n^2),合并n-1次,算法复杂度即为O(n^3),如果在prim中加堆优化,复杂度会降为O((n^2)logn)
帮助理解(reference http://www.cnblogs.com/ihopenot/p/5986772.html):考虑任意两个点为s,t,如果全局最小割中s,t不在一个集合中,那么显然全局最小割即为s-t最小割。否则我们将s,t缩成一个节点对于答案是没有影响的。基于这一点,每次将问题规模减小后求解。一开始选择的节点是作为s-t的中间节点集,因为每次扩展是选取联系度最大的点扩展,所以中间节点集中点互相间的联系度是大于st到中间点集的联系度的,而最后加入的点t的联系度是最小的,所以最小割即为这个点的联系度,即为s通过中间节点集到t的流量加上s直接到t的流量。所以就证明了每次拓展求出的是s-t的最小割。
--------------------------------------------代码
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX_N 30 #define INF 0x3f3f3f3f int G[MAX_N][MAX_N]; int v[MAX_N]; // v[i]代表节点i合并到的顶点 int w[MAX_N]; // 定义w(A,x) = ∑w(v[i],x),v[i]∈A bool visited[MAX_N]; // 用来标记是否该点加入了A集合 int squ[MAX_N]; //记录移除的节点次序 int index; int stoer_wagner(int n) { int min_cut = INF,r=0; for (int i = 0; i < n; ++i) { v[i] = i; // 初始还未合并,都代表节点本身 } while (n > 1) { int pre = 0; // pre用来表示之前加入A集合的点(在t之前一个加进去的点) memset(visited, 0, sizeof(visited)); memset(w, 0, sizeof(w)); for (int i = 1; i < n; ++i) //求出 某一轮最大生成树的最后两个节点,并且去除最后的t,将与t连接的边归并 { int k = -1; for (int j = 1; j < n; ++j) // 选取V-A中的w(A,x)最大的点x加入集合 { if (!visited[v[j]]) { w[v[j]] += G[v[pre]][v[j]]; if (k == -1 || w[v[k]] < w[v[j]]) { k = j; } } } visited[v[k]] = true; // 标记该点x已经加入A集合 if (i == n - 1) // 若|A|=|V|(所有点都加入了A),结束 { const int s = v[pre], t = v[k]; // 令倒数第二个加入A的点(v[pre])为s,最后一个加入A的点(v[k])为t cout<<t<<"--->"<<s<<endl; squ[r++]=t; if(w[t]<min_cut) { min_cut=w[t]; index=r; } //min_cut = min(min_cut, w[t]); // 则s-t最小割为w(A,t),用其更新min_cut for (int j = 0; j < n; ++j) // Contract(s, t) { G[s][v[j]] += G[v[j]][t]; G[v[j]][s] += G[v[j]][t]; } v[k] = v[--n]; // 删除最后一个点(即删除t,也即将t合并到s) } // else 继续 pre = k; } } return min_cut; } int main(int argc, char *argv[]) { int n, m; while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) { memset(G, 0, sizeof(G)); while (m--) { int u, v, w; scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); G[u][v] += w; G[v][u] += w; } int z=n; //printf("%d\n", stoer_wagner(n)); cout<<"\r\n归并的步骤为:"<<endl; int res=stoer_wagner(n); cout<<"\r\n最小割的总权值为: "<<res<<"\r\n图划分为部分A:"; //cout<<"图划分为部分A:"; for(int i=0;i<z;i++) { if(i==index) cout<<"部分B:"; cout<<squ[i]<<" "; } } return 0; }
---------------------------------------示例