素数检测杂谈
最初我们学到的是这种朴素的写法：
(define (prime? n) (cond [(or (= n 2) (= n 3)) #t] [(even? n) #f] [else (prime-test-loop n)])) (define (prime-test-loop n) (let ((top (ceiling (sqrt n)))) (let iter ((start 3)) (cond [(> start top) #t] [(= (mod n start) 0) #f] [else (iter (+ start 2))]))))
虽然很笨拙，但其实这也是经过“优化”的，首先，除了 2 以外的偶数就不用判断了。其次，试除迭代从 3 起步，每次 +2，同样避开了偶数。最后，循环的结束条件是 (sqrt n).
后来又看到一种生成素数序列的方法，大体思想是维护一个已知的素数表，每一个新的数字 n 都用已知素数表里的数去试除。如果都不能整除，说明 n 是素数，将 n 添加到已知的素数表里，进入下一轮迭代。原文是用 C 实现的，事先搞一个大数组，每一轮迭代都遍历数组，将已知素数的整数倍所对应的数组下标都划掉，最后留在数组中的就是素数。其实这个算法也是 O(N^2) 复杂度，随着 n 的增长，其代价也将迅速地变得不可接受。下面是我写的 Scheme 版：
(define (prime-list n) (let iter ((start 3) (primes '(2))) (cond [(> start n) primes] [(andmap (lambda (p) (not (= (mod start p) 0))) primes) (iter (+ start 2) (cons start primes))] [else (iter (+ start 2) primes)])))
后来知道有一种基于概率的检测方法叫费马检查，SICP 上就有一个实现：
(define (square n) (* n n)) (define (expmod base exp m) (cond ((= exp 0) 1) ((even? exp) (mod (square (expmod base (/ exp 2) m)) m)) (else (mod (* base (expmod base (- exp 1) m)) m)))) (define (fermat-test n) (define (try-it a) (= (expmod a n n) a)) (try-it (+ 1 (random (- n 1))))) (define (fast-prime? n times) (cond ((= times 0) #t) ((fermat-test n) (fast-prime? n (- times 1))) (else #f)))
这个算法不是很可靠，因为它所依据的理论是个伪命题，费马小定理断言：如果 n 是一个素数，那么小于 n 的任意正整数 a 的 n 次方再对 n 取模，结果依然为 a。
它的逆命题是，a 是任意一个小于 n 的正整数, 如果 a ^ n % n = a，那么 n 就是一个素数。很遗憾，这个逆命题不成立，因为有一类数叫做 Carmichael 数，它符合 a ^ n % n = a 这个特性，但却不是素数。直接用这段程序检查一个数是不是素数有很大的机会出错。这是已知 Carmichael 数的一部分：
561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461
可以看到，最小的数是 561。如果你准备写一个程序，生成一个素数表，然而它迭代了 500 多次以后就开始胡言乱语了。 SICP 提到一个费马检测的变形，叫做 Miller-Rabin 检测，它能够避免 Carmichael 数的愚弄。
这个检测依据的断言是：如果 n 是一个素数，a 是任意一个小于 n 的正整数，那么 a ^ (n-1) % n = 1 % n。
要用 米勒-拉宾 检测算法测试一个数字是不是素数，我们应当选择一个小于 n 的随机正整数 a, 然后利用
expmod函数计算a ^ (n-1) % n. 但是执行到expmod里的square那一步时，我们检测是不是找到了一个(1 % n)的非平凡的平方根，换言之，看一看是不是有这样一个数字，它既不是 1, 也不是 n-1，但是它的平方等于 1 % n。很容易证明，如果这样一个 1 的非平凡的平方根存在，那么 n 肯定不是素数。同样可以证明，如果 n 是一个并非素数的奇数，在小于 n 的正整数中，至少有一半在用这种方法计算a ^ (n-1)时能够找到这种非凡平方根。
中文版的 SICP 看不太明白，我自己翻译英文题目，还是觉得看不太明白。但大概意思明白了，如果一个小于 n 的正整数 a，它符合 a ^ (n-1) & n = 1，但是 a 既不是 1, 也不是 n-1，那么这个 n 肯定不是素数。对一个伪素数来说，只做一次测试，正确与错误的概率对半分(事实上，出错的机率远远小于一半)，基本和算命差不多。如果做两次测试，那就很有可能发现它的真面目。重复的次数越多，结果越可信。如果重复多次依然通过了测试，那个这个数 n 大概真的是个素数了。与费马检查不同，费马检查遇到 Carmichael 数无论重复多少次都无法给出正确的结果的。这就是它能避免 Carmichael 数愚弄的原因。
SICP 留了一个作业 1.28 ，要求实现 Miller-Rabin 检测，下面是具体实现：
(define (expmod base exp m) (cond ((= exp 0) 1) ((even? exp) (check-nontrivial-sqrt (expmod base (/ exp 2) m) m)) ;; look here (else (mod (* base (expmod base (- exp 1) m)) m)))) (define (check-nontrivial-sqrt n m) (let ((x (mod (square n) m))) (if (and (not (= n 1)) (not (= n (- m 1))) (= x 1)) 0 x))) (define (miller-rabin-test n) (define (try-it a) (= (expmod a (- n 1) n) 1)) (try-it (+ 1 (random (- n 1))))) (define (fast-prime? n times) (cond ((= times 0) #t) ((miller-rabin-test n) (fast-prime? n (- times 1))) (else #f))) ;; 搞了个包装函数，偶数就不必判断了吧 (define (prime? n) (cond ((= n 2) #t) ((even? n) #f) (else (fast-prime? n 10))))
上面的代码我将迭代次数设为10次，事实上我用5次迭代来测试所有已知的 Carmichael 数，重复了很多次都没有发生错误。10次的迭代次数大概就可以把错误机率降到宇宙射线引发 CPU 执行指令错误的程度了吧。下面是测试代码和数表：
(define fname "Carmichael-list") (call-with-input-file fname (lambda (ip) (let iter ((n (read ip))) (cond ((eof-object? n) #t) ((prime? n) (print n " test failed!" nl) (iter (read ip))) (else (iter (read ip)))))))
前方高能的分隔线
Carmichael-list:
561 1105 1729 2465 2821 6601 8911 10585 15841 29341 41041 46657 52633 62745 63973 75361 101101 115921 126217 162401 172081 188461 252601 278545 294409 314821 334153 340561 399001 410041 449065 488881 512461 530881 552721 656601 658801 670033 748657 825265 838201 852841 997633 1024651 1033669 1050985 1082809 1152271 1193221 1461241 1569457 1615681 1773289 1857241 1909001 2100901 2113921 2433601 2455921 2508013 2531845 2628073 2704801 3057601 3146221 3224065 3581761 3664585 3828001 4335241 4463641 4767841 4903921 4909177 5031181 5049001 5148001 5310721 5444489 5481451 5632705 5968873 6049681 6054985 6189121 6313681 6733693 6840001 6868261 7207201 7519441 7995169 8134561 8341201 8355841 8719309 8719921 8830801 8927101 9439201 9494101 9582145 9585541 9613297 9890881 10024561 10267951 10402561 10606681 10837321 10877581 11119105 11205601 11921001 11972017 12261061 12262321 12490201 12945745 13187665 13696033 13992265 14469841 14676481 14913991 15247621 15403285 15829633 15888313 16046641 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