Zihua Guo's Blog

摘要： Title: Schrodinger Maps (III)Speaker: Professor Ioan BejenaruTime: 10:00-11:00 am, May 7th, 2013Place: 1303 of Science Building No. 1.This is the third talk given by Professor Ioan Bejenaru. 阅读全文

摘要： 时间：April24 (Wed.), 17:30-20:00地点：理科一号楼1479报告人：兰洋（北大本科生）在几个报告中，兰洋将详细报告"Concentration-compactness/Rigidity method". 讲义见http://math.uchicago.edu/~cek/Kenigrev1.pdf 阅读全文

摘要： 考虑到同学们听课的效果，我决定边写讲义边公开，请大家注意讲义的更新, 有任何问题和建议，欢迎告诉我。讲义2013.4 阅读全文

摘要： 在这个帖子中将陆续收集一些易忘记的定义, 仅为查阅时方便.1. 范数, 半范数, 拟范数设$V$是复线性空间, $\|\cdot \|: V\to \mathbf{R}$(1) 称$\|\cdot\|$是范数(norm), 是指 a) $\|v\|\geq 0$, 且$\|v\|=0$ iff $v=0$; b) $\|cv\|=|c|\cdot \|v\|$; c) $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$.(2) 称$\|\cdot\|$是半范数(semi-norm), 是指 a) $\|v\|\geq 0$; b) $\|cv\|=|c|\cdot \|v\|$; c) $\| 阅读全文

摘要： 时间：April 17 (Wed.), 14:30-17:00地点：理科一号楼1479报告人：兰洋（北大本科生）在几个报告中，兰洋将详细报告"Concentration-compactness/Rigidity method". 讲义见http://math.uchicago.edu/~cek/Kenigrev1.pdf 阅读全文

摘要： 考虑$\mathbf{R}^n$中的单位球（一般距离）: $1\leq q \leq \infty$\[B_q=\{(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbf{R}^n: (\sum_{i=1}^n|x_i|^q)^{1/q}\leq 1\}\]其中$q=\infty$时, 范数为取上确界.考虑$n=2$, $B_2$为欧氏球, $B_\infty$为边长为2的方体, $B_1$为边长是$\sqrt{2}$的菱形方体.Fefferman的结果: $B_2$是$(p,p)$乘子当且仅当$p=2$.在课程中, 我们知道这和球的特殊几何结构有关, 与生硬截断的光滑性无关, 因为对于$B_ 阅读全文

摘要： 时间：April 10 (Wed.), 14:30-17:00地点：理科一号楼1569报告人：兰洋（北大本科生）在几个报告中，兰洋将详细报告"Concentration-compactness/Rigidity method". 讲义见http://math.uchicago.edu/~cek/Kenigrev1.pdf 阅读全文

摘要： 设$M$是Hardy-Littlewood极大算子, 关于它的应用, 我们在课程上详细讲过, 这里做个总结, 主要集中在如下几个方面:1. 点态极限的极大函数办法(例如Lebesgue微分定理)2. 点态估计($M$可以用来控制一大类"平均"算子, 例如卷积型算子)\[|f(x)|\leq Mf(x), \quad a.e. x\in \mathbf{R}^n; \qquad \|Mf\|_p\sim \|f\|_p, 1<p\leq \infty.\]3. 与二进制分解算子的搭配使用, 可以使得在逐点估计中能得到精细的估计, 例如分数次微积分(分数次链式法则, 分数 阅读全文

摘要： 考虑Schrodinger方程\[i\partial_t u+\Delta u=f, \quad u(x,0)=0\]其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则上面非齐次Schrodinger方程的解可以写成$u=Af=\int_0^tS(t-s)[f(\cdot,s)](x)ds$.考虑非齐次的Strichartz估计:\[\|Af\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf{R}^d\times \mathbf{R}) 阅读全文

摘要： 考虑Schrodinger方程\[i\partial_t u+\Delta u=0, \quad u(x,0)=f\]其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则Schrodinger方程的解可以写成$u=S(t)f$.一个著名的时空范数估计是Strichartz估计: 假设$f$的Fourier变换支在带形$\{\xi: 1\leq |\xi|\leq 2\}$\[\|S(t)f\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf 阅读全文