Zihua Guo's Blog

摘要： 考虑Schrodinger方程\[i\partial_t u+\Delta u=0, \quad u(x,0)=f\]其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则Schrodinger方程的解可以写成$u=S(t)f$.一个著名的时空范数估计是Strichartz估计: 假设$f$的Fourier变换支在带形$\{\xi: 1\leq |\xi|\leq 2\}$\[\|S(t)f\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf 阅读全文

摘要： 在课程中, 我们着重讲了分数次微积分(主要是分数次Leibniz法则和链式法则)的证明及应用, 尤其在处理分数次导数时非常有用, 例如Schrodinger方程在$H^s$中的适定性. 该法则可以如下记忆:命题: 设$F\in C^1$, $s\in (0,1)$, 则$D^s{F(u)}\approx F'(u)D^su$.该命题有一点不足,即是, 如果$s$充分靠近0, 我们也仍然要求$F\in C^1$. 而后面这一个条件在维数很高时, 不再满足(例如$F(u)=|u|^{4/n}$). 因此某些结论通常有一些维数的限制. 鉴于此, R. Killip, M. Visan有一个改 阅读全文