改进的分数次链式法则

在课程中, 我们着重讲了分数次微积分(主要是分数次Leibniz法则和链式法则)的证明及应用, 尤其在处理分数次导数时非常有用, 例如Schrodinger方程在$H^s$中的适定性.  该法则可以如下记忆:

命题: 设$F\in C^1$, $s\in (0,1)$, 则$D^s{F(u)}\approx F'(u)D^su$.

该命题有一点不足, 即是, 如果$s$充分靠近0, 我们也仍然要求$F\in C^1$. 而后面这一个条件在维数很高时, 不再满足(例如$F(u)=|u|^{4/n}$). 因此某些结论通常有一些维数的限制. 鉴于此, R. Killip, M. Visan有一个改进的分数次链式法则, 可以参考他们的讲义的附录: Nonlinear Schrodinger equation at critical regularity.  我也将把他们的结论写进本课程的讲义中.