问题: 一维Schrodinger方程的双线性Strichartz估计的最佳性

一维的Schrodinger方程的双线性Strichartz估计, 有一个看似简单但目前仍没答案的问题, 表述如下:

假设$f,g \in L^2(\mathbf{R})$, 且$\widehat{f}$支集包含在$[1,2]$,  $\widehat{g}$支集包含在$[3,4]$. 记$S(t)=e^{it\partial_x^2}=\mathscr{F}^{-1}e^{it\xi^2}\mathscr{F}$. 考虑如下不等式

\[\|S(t)f\cdot S(t)g\|_{L_t^qL_x^\infty(\mathbf{R}^2)}\leq C \|f\|_{L^2}\|g\|_{L^2},\qquad (1)\]

Claim: (1)成立当且仅当$q\geq 2$.

当$q\geq 2$时, $(1)$显然成立, 由经典的Strichartz估计加H\"older不等式就得到了. 这个Claim想问的是, 这是最佳的, 在双线性情形(即使频率支集分离)也不能有改进.