笔记--增加了容量下界后的流量计算问题

1，求无源汇的上下界可行流：
     在原图G上添加源S`和汇T`，然后对所有的边(u,v,l,c)(l为下界，c为上界)，根据以下规则建立附加图G`：(u,v,0,c-l)，(S`,v,0,l)，(u,T`,0,l)。其思想实际就是让所边的下界流量的分离出来，作为一条“必要边”(即如果有可行流，这些容量为下界的边一定是满的)，让其统一流入汇，然后让源点来提供这样的流量(精辟)。这样就把问题转化为下界为0的情况。由于G中的一个可行流对应G`中一个(S`,i)(i = 1, 2, .. n)均满载的可行流，故只需对G`求最大流，再检查最大流是否等于G中所有边的下界之和即可。若是，则G`中对应原始边上的可行流与其下界的和是原问题的一个解，否则无解。
2，求有源汇的上下界可行流：
     设原图G上的源汇分别是S和T，在G上添加边(T,S,0,正无穷)，于是转化成求无源汇的上下界可行流问题。
3，求有源汇的上下界流网络的最大(小)流：
     如果从S到T有一个流量为a的可行流f，那么从T到S连一条弧(T,S)，其流量下界为a，则这个图一定有一个无源汇的可行流：除了弧(T,S)的容量为a外，其余边的容量与f相同。
     如果从S到T的最大流量为a_max，那么从T到S连一条下界为a(a>a_max)的弧(T,S)，则这个改造后的图中一定没有无源汇的可行流。
     综上，判断在G中是否有流量为a的可行流和判断在改造后的途中是否有一个无源汇的可行流完全等价，故可通过二分枚举(T,S)的下界a，使得其值最大并存在可行流。求最小流同理，枚举对象改变为(T,S)的上界且令其值尽量小。