pku2299 Ultra-QuickSort

题目意思是求一个序列的逆序数，朴素的做法时间复杂度是O(n^2)，其中 n < 500,000 ，结果不用说肯定是超时的；于是思路转向了O(nlogn)的算法，换言之离不开二分、树型结构等方法
这里用到的是杨挺的PDF《树状数组和线段树》里提到的方法：巧妙地将问题转化成类似求RMQ的问题，然后通过树状树组解决

1，将序列离散化，即序列内第k小的元素变成k，注意到题目已说明序列内无相同元素；离散化可通过排序和二分查找解决
2，将b[]初始化为0，遍历离散化后的序列a[1～n]，每当向树状数组c[]插入a[i]前，根据c[]用O(logn)的时间求b[1]～b[a[i]]的和，即求得比a[i]先插入且比a[i]小的元素个数（放到序列上理解，就是排在a[i]前面且比a[i]小的元素个数），换算后可得比a[i]先插入且比a[i]大的元素个数，在遍历过程中将其累加到ans，即为答案
3，更新ans后置b[a[i]]为1，同时更新c[]的值（对c[]插入a[i]）

排序和统计的复杂度都为O(nlogn)，所以算法总复杂度是O(nlogn)

 

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 500005
#define clr(x) memset(x,0,sizeof(x))

int a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN],n;
__int64 ans;

int find(int x){
    int l=1,r=n,m;
    while(r>=l){
        m=(l+r)/2;
        if(x<b[m])
            r=m-1;
        else if(x>b[m])
            l=m+1;
        else
            return m;
    }
    return -1;
}

void discretization(){
    int i,t;
    for(i=1;i<=n;i++){
        t=find(a[i]);
        a[i]=t;
    }
}

inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int sum(int k){//求sum(b[1]～b[k])
    int i,res=0;
    for(i=k;i>0;i-=lowbit(i))
        res+=c[i];
    return res;
}

void improve(int k){//插入a[i]后b[a[i]]的值有修改
    int i;
        //若对b[k]有修改，设影响到了c[p1]、c[p2]、 ，则p1=k，pi+1=pi + lowbit(pi)
    for(i=k;i<=n;i+=lowbit(i))
        c[i]++;
}



void build(){//建立树状数组c[]
    clr(b);
    clr(c);
    int i,k;
    for(i=1;i<=n;i++){
        k=a[i];
        ans+=i-sum(k)-1;
        b[k]=1;
        improve(k);
    }
}

int main(){
    int i;
    while(scanf("%d",&n) && n){
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",a+i);
            b[i]=a[i];
        }
        sort(b+1,b+n+1);
        discretization();//离散化
        ans=0;
        build();
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

另附合并排序求逆序数代码:

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 500001

int a[MAXN],t[MAXN],n;
__int64 ans;

void Merge(int l,int m,int r){
    int i=0,j=l,k=m+1;
    while(j<=m && k<=r){
        if(a[j]>a[k]){
            t[i++]=a[k++];
            ans+=m-j+1;
        }
        else
            t[i++]=a[j++];
    }
    while(j<=m)
        t[i++]=a[j++];
    while(k<=r)
        t[i++]=a[k++];
    for(j=0;j<i;j++){
        a[l+j]=t[j];
    }
}


void Mergesort(int l,int r){
    if(l<r){
        int m=(l+r)/2;
        Mergesort(l,m);
        Mergesort(m+1,r);
        Merge(l,m,r);
    }
}


int main(){
    int i;
    while(scanf("%d",&n) && n){
        ans=0;
        for(i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",a+i);
        Mergesort(0,n-1);
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}