【题解】Luogu6656 / LOJ173 模板 Runs

【模板】Runs 题解

润s！

By zghtyarecrenj

本文包括：Lyndon Words & Lyndon Array & Runs & Three Squares Lemma。

禁止转载全文，转载部分需要注明出处。

实在太长，已尽量删减（

哇，你古md排版是不是出了点问题

Lyndon tree 是一个非常有趣的东西，但是我现在还没有发现应用，所以先咕着。

前言：Lyndon 相关知识是大毒瘤。

0 Marks & Facts

1. 我们定义两个字符串 \(a\) 和 \(b\)，如果 \(a\) 的字典序 \(<b\)，则我们称 \(a < b\)。
2. 如果 \(a\) 是 \(b\) 的前缀且 \(a \ne b\)，则我们称 \(a \sqsubset b\)。
3. 如果 \(a\) 是 \(b\) 的前缀，则我们称 \(a \sqsubseteq b\)。
4. 如果 \(a < b\) 且 \(a\) 不是 \(b\) 的前缀，则我们称 \(a \triangleleft b\)。即 \(a \triangleleft b \Longleftrightarrow (a < b) \wedge (a \not\sqsubseteq b)\)。Fact：如果 \(a \triangleleft b\)，则 \({au} < {bv}\)。
5. \({abc}\) 表示拼接 \(a, b, c\) 三个字符串。
6. \(a^n\) 表示 \(n\) 个 \(a\) 拼接在一起。e.g. \({a^2b} = {aab}\)
7. \(\epsilon\) 表示空串。
8. 我们定义字符集为 \(\Sigma\)，组成的字符串为 \(\Sigma^*\)，\(\Sigma^+ = \Sigma^* \setminus \{\epsilon\}\)
9. \(\operatorname{pref}(a)\) 表示所有 \(a\) 的前缀的集合，\(\operatorname{suf}(a)\) 表示所有 \(a\) 的后缀的集合（包含 \(a\) 和 \(\epsilon\)）
10. \(\operatorname{pref}^+(a) = \operatorname{pref}(a) \setminus \{a,\epsilon\},\ \operatorname{suf}^+(a) = \operatorname{suf}^+(a) \setminus \{a, \epsilon\}\)
11. 若无特殊定义，字符串 \(s\) 是从 \(0\) 开始。
12. \(|s|\) 表示 \(s\) 的长度，\(s[i..j]\) 表示 \(s\) 的一个子串，第一个字符的标号为 \(i\)，最后一个字符的标号为 \(j\)。
13. $\hat{w}=w$ $，其中 $$ $ 是一个比字符集里面任何数小的字符。

1 Lyndon Words

1.1 Definition

Lyndon Word：一个串是一个 Lyndon Word 当且仅当 \(\forall a\) 的后缀 \(b\)，有 \(a < b\)。

还有一个定义：对于一个 \(n\) 的串有 \(n\) 个循环同构，则其中严格最小的那个是一个 Lyndon Word。

比如：\(\text{ab}\) 是一个 Lyndon Word，但是 \(\text{ba}\) 不是。

\(\mathcal L\) 表示 Lyndon Word 的集合。

1.2 Chan-Fox-Lyndon Factorization

又称 Lyndon Decomposition。

我们定义 \(\operatorname{CFL}(s)\) 是一个对于 \(s\) 串的划分，即划分成了 \({w_1w_2\cdots w_k} = s\)，使得所有 \(w_i\) 是 Lyndon Word，并且 \(w_1 \ge w_2 \ge \cdots \ge w_n\)。

比如：串 \(\text{bbababaabaaabaaaab}\) 的 Lyndon 分解是 \(\color{blue}\text{b}\color{red}\text{b}\color{blue}\text{ab}\color{red}\text{ab}\color{blue}\text{aab}\color{red}\text{aaab}\color{blue}\text{aaaab}\)。

Theory 1.2.1 Lyndon Concatanation

这是一个很显然的结论。

如果 \(a, b \in \mathcal L\)，且 \(a < b\)，则 $ {ab} \in \mathcal L$。

由于 \(a < b\)，我们有 \({ab} < b\)。接下来我们分两种情况讨论。

1. 当 \(a \not \sqsubseteq b\) 时：根据 \(a < b\)，我们有 \(a \triangleleft b\)。所以 \({ab} \triangleleft b \implies {ab} < b\)。

2. 当 \(a \sqsubseteq b\) 时：令 \(b={ac}\)，则 \({ab} = {a^2c}\)。因为 \(b \in \mathcal L\)，所以 \({ab} < b \implies {a^2c} < {ac} \implies {ac} < c\)，所以 \(b < c\)。

所以，\(\forall d \in \operatorname{suf}^+(b), \ {ab} < b < d \implies \forall c \in \operatorname{suf}^+(a),\ a \triangleleft e \implies {ab} \triangleleft {eb}\)。\(\blacksquare\)

Theory 1.2.2 Existence of CFL

这个结论和 [Theory 1.2.3] Uniqueness of CFL 是两个很有趣的结论。

对于任意的串 \(s\)，\(\operatorname{CFL}(s)\) 一定存在。

构造法。我们考虑，单个的字母一定是 Lyndon Word。

根据 [Theory 1.2.1 Lyndon Concatanation]，我们可以把字典序小的两个 Lyndon Word 并起来，所以我们把所有的字典序单增的序列都并起来，剩下的就是一个合法的 CFL。\(\blacksquare\)

Theory 1.2.3 Uniqueness of CFL

对于任意的串 \(s\)，\(\operatorname{CFL}(s)\) 一定唯一。

反证法，假设有两种方案。我们考虑第一个不同的位置的情况，可以很容易地得到矛盾，和 CFL 的定义矛盾。\(\blacksquare\)

然后我们就得到了 CFL 存在且唯一。由此有两个推论：

Theory 1.2.4 Lyndon Suffixes and Lyndon Prefixes

\(w_1\) 是最长的 Lyndon 前缀且 \(w_k\) 是最长的 Lyndon 后缀。

反证法。因为如果 \(w_1\) 不是最长，那么还能再拼，产生了两个合法的 CFL，和 [Theory 1.2.3 Uniqueness of CFL] 矛盾。所以 \(w_1\) 是最长的 Lyndon 前缀。

\(w_k\) 同理。\(\blacksquare\)

Theory 1.2.5 Theory of Minsuf

一个字符串 \(s\) 的最小后缀是 \(w_k\)。

首先，我们有这样的一个 CFL：

首先，我们记 \(w_n\) 的起始位置为 \(pos\)，则显然

如图，最小后缀的其实位置不可能 \(>pos\)，因为根据 Lyndon Word 的定义，\(w_n\) 的每个后缀都大于他自身。

接下来我们考虑最小后缀在另一个位置的情况，即他在另一个 \(w_i\) 之中

根据 \(w_i \ge w_{i+1}\ge \cdots \ge w_n\)，而 \(w_i\) 的一个后缀 \(> w_i\)，所以这个后缀大于 \(w_n\)。

所以唯一可能的最小后缀就是 \(w_n\)。

简单来说，假设最小后缀是 \({xw_{i+1}w_{i+2}\cdots w_{k}}\) 而不是 \(w_k\) 且 \(|x| < |w_i|\)。我们有 \({x w_{i + 1} \dots w_k} \geq x > w_i \ge w_k\)，矛盾。\(\blacksquare\)

1.3 Duval's Algorithm

就是求出 CFL 的算法啦~

我们有一个非常优美的算法

有一个言简意赅、一看就懂的描述

$ {uav} \in \mathcal{L}\(，\)u,v,h \in \Sigma^*\(，\)a<b\in\Sigma\(，\)k\ge1$

1. \({(uav)^k ub} \in \mathcal{L}\)
2. \(\operatorname{CFL}({(ubv)^k uah}) = {(ubv)^k} \operatorname{CFL}({uah})\)
3. \(\operatorname{CFL}({(uv)^k u}) = {(uv)^k} \operatorname{CFL}(u)\)

换成代码实现就是：

我们需要维护两个部分：\(ubv\) 和 \(u\)。

简单来说，就是如果可以拼到当前的串的末尾就拼上去，否则就是一个新的 Lyndon Word。（如果碰到一个比当前的小的东西，则我们更新 \(ubv\)，否则我们就更新 \(u\)）。

如果还是不太懂可以移步 oi-wiki，那里写的比较详细。

模拟即可，显然空间复杂度 \(\mathcal O(1)\)。接下来证明一下时间复杂度。

接下来证明一下复杂度为什么是对的。

最优情况为一个分解走到底，\(\mathcal O(n)\)。

最坏情况为不停地在重新找，由于至多回退 \(n\) 次，每次回退的距离不超过前进的距离，所以是 \(\mathcal O(n)\)。

2 Significant Suffixes

这里不太用到，需要的去 ZJOI2017 字符串 题解 看吧。

3 Lyndon Array

3.1 Definition

我们有一个字符串 \(s\)，则

Lyndon Array：\(\mathcal L[i] = \max \{j : s_i \cdots s_{j-1} \in L\}\)，其中 \(L\) 表示 Lyndon 串的集合。在 \(\prec_l\) 意义下的 \(\mathcal L\) 记为 \(\mathcal L_l\)。

这有啥子用？别急，先看性质。

3.2 Non Intersecting Substrings

Theory 3.2.1 Non Intersecting Lyndon Substrings

最长的 Lyndon 子串是无交集的，即 \(i < j < \mathcal L[i]\)，我们有 \(\mathcal L[j] \le \mathcal L[i]\)。

我们假设存在 \(i,j\) 使得 \(\mathcal L[i] < \mathcal L[j]\)。

我们假设 \(u = s_i \cdots s_{j-1}\)，\(v = s_j \cdots s_{\mathcal L[i] - 1}\)，\(w = s_{\mathcal L[i]} \cdots s_{\mathcal L[j] - 1}\)，且 \(u,v,w\) 满足 \({uv}, {vw} \in L\)。

对于所有的 \(s \in \operatorname{suf}^+({uvw})\)，且满足 \(|s| \le |v| + |w|\)，有 \(s \triangleleft {vw} \sqsupseteq v \triangleleft {uv}\)。\(\implies {uvw} \triangleleft s\)。

对于所有的 \(s \in \operatorname{suf}^+({uvw})\)，且满足 \(|s| > |v| + |w|\)，有 \({svw} \sqsupseteq {sv} \triangleleft {uv}\)。\(\implies {uvw} \triangleleft {svw}\)。

所以 \({uvw} \in L\)，矛盾。\(\blacksquare\)

3.3 Suffix & Lyndon Arrays

我们设 \(\operatorname{suf}(i) = s_i \cdots s_{n-1}\)，即一个后缀。

而我们有 \(s_i \cdots s_{\mathcal L[i] - 1} \triangleleft s_j \cdots s_{\mathcal L[i] - 1}\)。

\(\implies \operatorname{suf}(i) \triangleleft \operatorname{suf}(j)\quad(i<j<\mathcal L[i])\)

于是我们设

\[\operatorname{NSV}(i) = \min\{\{j > i : \neg(\operatorname{suf}(i) \triangleleft \operatorname{suf}(j))\} \cup \{n\}\} \]

显然 \(\mathcal L[i] \le \operatorname {NSV}(i)\)。

我们还有 \(\neg(\operatorname{suf}(i) \triangleleft \operatorname{suf}(j)) \Longleftrightarrow \operatorname{suf}(j) \sqsubseteq \operatorname{suf}(i) \vee \operatorname{suf}(j) \triangleleft \operatorname{suf}(i) \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(i) > \operatorname{rank}(j)\)。

Theory 3.3.1 NSV Theory

有了上述定义，证这个是不是非常简单呢 XD

\(\mathcal L[i] = \operatorname{NSV}(i)\)

原命题可以很方便地转化为 \(s_i \cdots s_{\operatorname{NSV}(i) - 1} \in L\)。

分类讨论：

1. 如果 \(\operatorname{NSV}(i) = n\)，\(s_i \cdots s_{\operatorname{NSV}(i) - 1} = \operatorname{suf}(i)\)

2. 否则的话我们肯定有一些 \(j\) 使得 \(\operatorname{suf}(i) \triangleleft \operatorname{suf}(j)\)。

   然后我们继续来讨论：

   i) 如果 \(s_1 \cdot s_{\operatorname{NSV}(i) - 1} \triangleleft s_{j} \cdots s_{\operatorname{NSV}(i) - 1}\)，易证。

   ii) 反之，结合 \(\operatorname{suf}(i + (\operatorname{NSV}(i) - j) - 1) \triangleright \operatorname{suf}(i)>\operatorname{suf}(\operatorname{NSV}(i))\)，易证矛盾。（你看不出来？明显与 \(\operatorname{suf}(i) \triangleright \operatorname{suf}(j)\) 矛盾）。\(\blacksquare\)

4 Runs

4.1 Definition

这个东西的英文名是 runs，他的中文名是顶天立地串……（好中二啊）

我们有一个串，runs 是他的一些子串，满足：

\(p = \operatorname{per}(s_i\cdots s_{j-1})\le \dfrac {j-i}2\)，\(s_{i-1} \ne s_{i-1}+p\)，\(s_{j-p}=s_{j}\)

更好理解的定义：

定义一个字符串 \(|S|\) 里的一个 run，指其内部一段两侧都不能扩展的周期子串，且周期至少完整出现两次。

严格地说，一个 run 是一个 三元组 \((i,j,p)\)，满足 \(p\) 是 \(S[i..j]\) 的最小周期，\(j-i+1 \ge 2p\)，且满足如下两个条件：

• 要么 \(i=1\)，要么 \(S[i-1]\ne S[i-1+p]\)；
• 要么 \(j=n\)，要么 \(S[j+1] \ne S[j+1-p]\)。

例如：\(S = \text{aababaababb}\) 之中有 7 个 runs：\(S[1..2] = \text a^2\)，\(S[1..10] = (\text{aabab})^2\)，\(S[2..6] = (\text{ab})^{2.5}\)，\(S[4..9] = (\text{aba})^2\)，\(S[6..7] = \text a^2\)，\(S[7..10] = (\text{ab})^2\)，\(S[10..11] = \text b^2\)。

（实际上是 LOJ #173 的题面，题目是我造的，这一段是 EtoainWu 的文字）

定义 \(Runs(w)\) 表示字符串 \(w\) 的所有 runs 的集合。

\(\rho(n)\) 表示了在一个长为 \(n\) 的字符串之中至多有多少组 runs，而 \(\sigma(n)\) 表示了在一个长为 \(n\) 的字符串之中所有 runs 的幂之和的最大值。

Lyndon Root：令 \(r=(i,j,p)\) 是一个run，则他的 Lyndon Root 是一个 \(s[i..j]\) 的长度为 \(p\) 的 Lyndon 子串。

每一个 run 都有一个 Lyndon root。

4.2 Linear Runs

Theory 4.2.1 Linear Runs Theory

我们假设 \(\prec^0\) 表示 \(<\)，而 \(\prec^1\) 表示 \(<^R\)。（此处的 \(^R\) 表示 reverse，给 \(\prec\) 标号是为了方便）

\(\prec^0\) 和 \(\prec^1\) 的对应的 Lyndon Array 是 \(\mathcal L^0\) 和 \(\mathcal L^1\).

\(\rho(n) \le 2n\)

原命题可以转化为

对于每个 runs，我们有存在 \(i\) 和 \(t\) 使得 \(s[i..\mathcal L^t[i] - 1]\) 是 Lyndon root。

我们令 \(w\) 是 Lyndon root，\(w=s[k..s-1]\)。

分类讨论：

1. 如果 \(j=|S|\)，

   我们可以把 \(s[k .. |S| - 1]\) 表示成 \({w^pw'} \ (p \in N, w' \in \operatorname{pref}(w))\)。

   因为 \(\operatorname{CFL}({w^pw'}) = {w^p\operatorname{CFL}(w')}\)，所以 \(w\) 是从 \(k\) 开始的最长 Lyndon 前缀。

2. 如果 \(j<|S|\)，

   我们可以把 \(w\) 表示成 \({uab}\)，其中 \(a \ne b\)。

   所以我们可以把 \(s_k \cdots s_{|S| - 1}\) 表示成为 \({(uav)^pub}\)。

   我们不妨假设 \(b \prec^t a\)、

   因为我们有 \(\operatorname{CFL}^t({(uav)^pubh}) = (uav)^p\operatorname{CFL}^t({ubh})\)，所以 \({uav}\) 是 \(\prec^t\) 下的最长 Lyndon 前缀。\(\blacksquare\)

Theory 4.2.2 The "Runs" Theory

\(\rho(n)<n,\sigma(n)\leq3n-3\)

几乎从 WC2019 课件搬运的证明

定义 \(Beg(I)\) 表示 \(I\) 中所有区间的起始端点的集合。

Lemma A

对于一个串的 Lyndon Array \(\mathcal L^0[i]\) 和 \(\mathcal L^1[i]\)，总有 \(\mathcal L^{l}[i] = [i..i], \mathcal L^{1-l}[i] = [i..j] (j\ne i)\)，其中 \(l\in \{0,1\}\)。

令 \(k=\max\{k'\ |\hat{w}_{k'}\ne \hat{w}_i,k'>i\}\)。

由 [Theory 1.2.1 Lyndon Concatanation] 可得：

• 若 \(\hat w_k < \hat w_i\)，则 \(\mathcal L^0[i]=[i..i]\)，且 \(\mathcal L^1[i]=[i..j]\ (j\geq k>i)\)。
• 若 \(\hat w_k > \hat w_i\)，则 \(\mathcal L^1[i]=[i..i]\)，且 \(\mathcal L^0[i]=[i..j]\ (j\geq k>i)\)。\(\blacksquare\)

Lemma B

若 \(r=(i,j,p)\) 为一个run，则对于 \(\hat{w}[j+1]\prec_l \hat{w}[j+1-p]\) 的 \(l\)，\(\forall r\) 的 \(\prec_l\) 意义下的 Lyndon Root \(\hat w[i_{\lambda}..j_{\lambda}]\) 都与 \(\mathcal L^l(i_{\lambda})\)相等。

\(\because \hat{w}[j+1]\ne\hat{w}[j+1-p]\)，令 \(l\in\{0,1\}\) 满足 \(\hat{w}[j+1]\prec_l\hat{w}[j+1-p]\)。

令 \(\lambda=[i_{\lambda}...j_{\lambda}]\) 为 \(r\) 的 \(\prec_l\) 意义下的一个 Lyndon Root，由 [Theory 1.2.1 Lyndon Concatanation]，\([i_{\lambda}...j_{\lambda}]=\mathcal L^l(i_{\lambda})\)。\(\blacksquare\)

对于一个run \(r=(i,j,p)\)，令 \(B_r=\{\lambda=[i_{\lambda}...j_{\lambda}]|\lambda\) 为 \(r\) 的 \(\prec_l\) 意义下的一个 Lyndon Root 且 \(i_{\lambda}\ne i\}\)。即 \(B_r\) 表示所有 \(r\) 的关于 \(\prec_l\) 的 Lyndon Root 构成的集合，但要除去开头位置 \(i\) 处开始的 Lyndon Root。有 \(|Beg(B_r)|=|B_r|\geq \lfloor e_r-1\rfloor\geq 1\)，其中 \(e_r\) 为 \(r\) 的指数。

Lemma C

两个不同的 run \(r,r'\)，\(Beg(B_r)\cap Beg(B_{r'})\) 为空。

反证，假设存在 \(i\in Beg(B_r)\cap Beg(B_{r'})\)，并且 \(\lambda=[i...j_{\lambda}]\in B_r\)，\(\lambda'=[i...j_{\lambda'}]\in B_{r'}\)。

令 \(l\in\{0,1\}\) 满足 \(\lambda=\mathcal L^l[i]\)，由于 \(\lambda\ne \lambda'\)，有 \(\lambda'=\mathcal L^{1-l}[i]\)。

由 Lemma A，\(\lambda\) 和 \(\lambda'\) 中有且只有一个为 \([i..i]\)。

不妨设 \(\lambda=[i..i]\)，那么 \(j_{\lambda'}>i\)。

由于 \(w[i...j_{\lambda'}]\) 为一个 Lyndon Word，有 \(w[i]\ne w[j_{\lambda'}]\)。

由 \(B_r\) 和 \(B_{r'}\) 的定义，\(r\) 和 \(r'\) 的开始位置均小于 \(i\)，这意味着 \(w[i-1]=w[i]\)（由 \(r\) 的周期性），并且 \(w[i-1]=w[j_{\lambda'}]\)（由 \(r'\) 的周期性）。矛盾 \(\blacksquare\)

任意的一个 run \(r\) 可以被赋予一个两两不交的非空位置集合 \(Beg(B_r)\)。并且，由于 \(1\notin Beg(B_r)\) 对于任意的一个 \(r\) 均成立，有 \(\sum_{r\in Runs(w)}|B_r|=\sum_{r\in Runs(w)}|Beg(B_r)|\leq |w|-1\)。

考虑字符串 \(w\)，由于对于任意 \(r\in Runs(w)\)，有 \(|B_r|\geq1\)，由 Lemma C，有 \(|Runs(w)|\leq\sum_{r\in Runs(w)}|B_r|\leq |w|-1\)。

考虑字符串 \(w\)，令 \(e_r\) 表示 \(r\) 的指数。由于对于任意 \(r\in Runs(w)\)，有 \(|B_r|\geq \lfloor e_r-1\rfloor>e_r-2\)，由 Lemma C，有 \(\sum_{r\in Runs(w)}(e_r-2)<\sum_{r\in Runs(w)}\lfloor e_r-1\rfloor\leq\sum_{r\in Runs(w)}|B_r|\leq |w|-1\)。因为 \(|Runs(w)|\leq |w|-1\)，可得 \(\sum_{r\in Runs(w)}e_r\leq3n-3\)。\(\blacksquare\)

4.3 Details about Implementation

现在，问题来了：我们怎么算 \(\mathcal L^0\) 和 \(\mathcal L^1\)？

简要思路：

\[\mathcal{L}^0[i] = \mathrm{NSV}(i) = \min\{\{j > i : \neg(\mathrm{suf}(i) \triangleleft \mathrm{suf}(j))\} \cup \{n\}\} \]

类似的，

\[\begin{aligned}\mathcal{L}^1[i] &= \mathrm{NSV}^R(i) \\&= \min\{\{j > i : \neg(\mathrm{suf}(i) \triangleleft^R \mathrm{suf}(j))\} \cup \{n\}\} \\&= \min\{\{j > i : \mathrm{suf}(i) \triangleleft \mathrm{suf}(j) \vee \mathrm{suf}(i) \sqsupseteq \mathrm{suf}(j))\} \cup \{n\}\}\end{aligned} \]

在实现 Runs 之前，你需要会字符串哈希或者后缀数组或者其他后缀数据结构。

根据以上证明中的 Lemma B，每一个 runs 都会对应一个 Lyndon root，所以如果我们把 Lyndon Array 算出来了，就可以把每个 runs 对应的 Lyndon root 求出来。

所以我们考虑对于字符串的每个后缀都维护他的 CFL，方法是在头上插入一个新字符，然后判断是否合法。根据 [Theory 1.2.1 Lyndon Concatanation]，如果遇到一个 Lyndon word 大于下一个的情况，合并即可。可以保证正确性。

这里有一个实现上的细节，可能会好写一点。根据 [Theory 1.2.4 Lyndon Suffixes and Lyndon Prefixes]，\(w_i\) 是 \(w_iw_{i+1}\cdots w_k\) 的最小前缀，所以比较两个 Lyndon word 的字典序相当于比较两个后缀的大小，而这个是比做一个 lcp 要简单多的。

所以至此 Lyndon Array 已经求完了，具体实现细节可以看代码。

接下来我们只要使用 Lyndon Array 扩展出 runs 就可以了，具体的做法是求出 lcp，即如果当前的 Lyndon Array \(\mathcal L[i] = (l..r)\)，则我们 lcp 求出最长的 \(s[l..l+l_1-1]=s[r+1..r+l_1], s[l-l_2..l-1]=s[r-l_2..r-1]\)。

根据 runs 的定义，如果 \(l_1 + l_2 \ge 2(l - r + 1)\)，那么我们就找到了一个 run \((l-l_2, r+l_1-1, r-l+1)\)。

如果我们使用 SAIS 和 \(\mathcal O(n) - \mathcal O(1)\) 的 rmq 算法，我们就可以线性时间内求出所有的 runs。

比较优秀的 \(\mathcal O(n) - \mathcal O(1)\) 的 rmq 方法：叉姐的 和 hqztrue的。

Template

Luogu P6656

是我出的啦owo

求就好了，真真实实的板子题。

Code

这篇文章可能以后还会更，加上 2-Period 问题什么的。

5 Three Squares Lemma

5.1 Definition

Squares: 能表示成 \(x^2\) 的串。

Primitive Squares: 不能再拆的 Squares。如 \(x^2+x\) 一定是一个 Primitive Square。

5.2 Three Squares Lemma

Theory 5.2.1 Three Squares Lemma

我们有 3 个 Primitive Squares，为 \(u^2\)，\(v^2\) 和 \(w^2\)，满足 \(|u|<|v|<|w|\)。

则我们有 \(|u| + |v| \le |w|\)，并且 Primitive Squares 是数量是 poly log 级别的，即 \(\mathcal O(n\log n)\)。

唔，我不会证= =咕了咕了

Evguenia Kopylova, W.F. Smyth. The three squares lemma revisited. DOI: 10.1016/j.jda.2011.03.009

6 扯淡

我在出 LOJ #173 的时候，发现有一个非常强的暴力，就是暴力地去做 lcp 和 lcs。

后来我经过不懈努力使用 aaaaa...ab 这个串卡掉了他，但是其实考场上如果时间不够的话写这个暴力其实是非常优秀的，毕竟我见过的两个 runs 题都没有卡这个暴力。