Swap and Flip

题意

\(n\)张卡牌，每张卡牌的正面是数字\(a\) ，背面是数字\(b\)。操作：交换相邻的两张卡牌，然后翻转。问最少需要多少次操作使得卡牌朝上的数字组成非递减数列？

(\(n <= 18\), \(1 <= a, b <=50\))

题解

\(n\)比较小，不是DFS就是状压DP

首先，多动笔会发现：同一张卡牌被交换奇数次后，卡牌的背面朝上，如果是偶数次，卡牌的正面朝上。

然后，枚举有哪些位置的卡牌在最终状态（朝上的数字构成非递减数列）是被翻转过的。比如，\(i\) 位置的卡牌被标记为1，表示第 \(i\) 张卡牌在最终状态是背面朝上的（交换了奇数次）；如果是0，则正面朝上（交换了偶数次）。

通过枚举，我们可以推出最终状态，所以我们仅仅需要完成两个工作：①能否匹配 ②正确计算逆序对

• 匹配：假设第 \(i\) 张卡牌被标记为1，它在最终状态中的位置为 \(j\)。如果\(| i - j| \% 2 ==1\)，说明这张卡牌移动了奇数次，否则，说明推出的最终状态不成立；此处的难点在于：如果碰到相同的数字，既最终状态有多个位置上的数字与\(b_i\)相同，怎么确定是否匹配？贪心，既找到满足\(| i - j| \% 2 ==1\)的位置为止。

  贪心的正确性不会证，难受 ≧ ﹏ ≦

  // tp: 最终状态
  // id: 第 i 张卡牌的初始位置，朝上的数字是 x
  bool check(vector<int> &tp, int id, int x, int is_b) {
      bool flag = false;
      myfor(i, 0, n) if (!vis[i] && (x == tp[i]) && ((abs(id - i) & 1) == is_b)) {
          vis[i] = 1;
          ind[id] = i;
          return true;
      }
      return false;
  }
  

• 计算逆序对：用\(ind\)数组标记第\(i\)张卡牌在最终状态的位置，然后求\(ind\)的逆序对.

复杂度\(O(2^n n^2)\)

#define myfor(i, a, b) for (int i = a; i < b; ++i)

const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
int a[20], b[20], ind[20];

bool vis[20];

bool check(vector<int> &tp, int id, int x, int is_b) {
    bool flag = false;
    myfor(i, 0, n) if (!vis[i] && (x == tp[i]) && ((abs(id - i) & 1) == is_b)) {
        vis[i] = 1;
        ind[id] = i;
        return true;
    }
    return false;
}

int cal_invesion_number() {
    int cnt = 0;
    myfor(i, 0, n) {
        for (int j = n - 1; j > i; j--) if (ind[j] < ind[j - 1]) {
            cnt++;
            swap(ind[j], ind[j - 1]);
        }
    }
    return cnt;
}

int main()
{
    cin >> n;
    myfor(i, 1, n + 1) cin >> a[i];
    myfor(i, 1, n + 1) cin >> b[i];

    int ans = INF;
    myfor(i, 0, (1 << n)) {

        bool flag = true;
        vector<int> tp;

        myfor (j, 0, n) {
            if ((i >> (n - j - 1)) & 1) tp.pb(b[j + 1]);
            else tp.pb(a[j + 1]);
        }
        sort(tp.begin(), tp.end());

        myfor(j, 0, n) {
            int is_b = (i >> (n - j - 1)) & 1;
            int x = is_b ? b[j + 1] : a[j + 1];
            if (!check(tp, j, x, is_b)){
                flag = false;
                break;
            }
        }

        if (flag) ans = min(ans, cal_invesion_number());

        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        memset(ind, 0, sizeof(ind));
    }

    cout << ((ans == INF) ? -1 : ans) << endl;
    return 0;
}