素数算法的优化之路

一、素数的定义
        质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其它自然数(不包含0)整除的数。由于合数是由若干个质数相乘而得来的，所以。没有质数就没有合数，由此可见质数在数论中有着非常重要的地位。

        比方：2。3，5。7，9.....都是素数。
 
二、构造素数算法
     写算法之前。先来说说下面这个东西：
     
     对于随意一个合数n，假设它有两个质因子x，y。显然n = x*y。 
     所以。由不等式性质可得，x <= sqrt(n)， 即 x <= n^(1/2)。
     
     推广一下，对于随意一个合数，假设它有k个质因子x1，x2。x3，.... ，xk。显然n = x1 * x2 * x3 * .... * xk。
     所以。由不等式性质可得， x <= n^(1/k)，即每一个质因子必小于或者等于n开k次方，当中x 属于集合{ x1，x2。x3，.... ，xk }。

    定义一个全局变量和一个全局数组，要是数组是分配在栈上的话，是有容量限制的。所以我们就定义个全局的。

     const unsigned int N = 50000;

     bool flag[N+1];
 

    1、算法一：依照定义，就可以高速写出一个简单的构造素数算法 
    

void PrimeCreateCommon()//依照定义
{
	for ( unsigned int i = 2; i <= N; ++i )
	{
		//由前面的铺垫，这里不难理解吧。由于我不知道这个数有几个质因子，
		//我就如果它仅仅有两个。范围拉大一些。这个数的全部质因子都小于或
		//等于sqrt( (double)i ) + 1。其他的约数，必定是这些质因子的倍数
		//而已所以就不是必需继续除下去了。
		bool flag = true;
		for ( unsigned int j = 2; j <= sqrt((double)i)+1; ++j )  
		{                              
			if ( i % j == 0 )         
			{                        
				flag = false;
			}
		}
		//if ( flag )
		//{
		// 	cout << i << " "; 
		//}
	}
	cout << endl;
}

   分析：该算法的时间复杂度为O（n*sqrt(n) )，在n比較大时（比方n = 50000），我的机器跑了个二十来秒。就也叫算法。呵呵，所以接下来我们来看还有一种算法 ，那就是古希腊数学家的埃拉托色尼给出的一个比較省力的算法------埃拉托色尼筛法。 

   2、算法二：筛选法

 
    首先，列出从2開始的数。然后，将2记在素数列表上，再划去全部2的倍数。

依据定义，剩下的最小的数——在这里是3——必然是素数。

将这个数记在素数列表上，再划去全部它的倍数，这样又会剩下一些数，取当中最小的，如此重复操作。

最后剩下的都是素数。
   

void PrimeCreateExt()//筛选法优化
{
	memset( flag, 0, (N+1)*sizeof(bool) );
	for ( unsigned int i = 2; i <= sqrt(double(N)) + 1; ++i )
	{
		if ( !flag[i] )
		{
			for ( unsigned int j = 2*i; j <= N; j += i )
			{
				flag[j] = true;
			}
		}

	}

// 	for ( int i = 2; i <= N; ++i )
// 	{
// 		if ( !flag[i] )
// 		{
// 			cout << i << " ";
// 		}
// 	}
// 	cout << endl;
} 

 三、两种算法的执行时间对照
    
  

//測试函数
int main()
{
	clock_t start, finish;
	double duration = 0.0;

	cout << "筛选算法产生素数：" << endl;
	start = clock();
	PrimeCreateExt();
	finish = clock();
	duration = (double)(finish-start);
	cout << "时间消耗:" << duration << "ms" << endl << endl;

	cout << "普通算法产生素数：" << endl; 
	start = clock();
	PrimeCreateCommon();
	finish = clock();
	duration = (double)(finish-start);
	cout << "时间消耗:" << duration << "ms" << endl << endl; 
} 

   

 //产生50万以内的素数执行时间对照 

 四、空间上的优化
            略

作者：山丘儿
转载请标明出处，谢谢。原文地址：http://blog.csdn.net/s634772208/article/details/46327281