最长递增子序列
问题描写叙述
三种解法
动态规划
设以arr[i]结尾的最长递增子序列的长度为L[i],则L[j]={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] },然后找出L[]数组中的最大值即为LIS的长度。int lis2(int arr[], int len)
{
cout<<sizeof(arr)/sizeof(arr[0])<<endl;
int *longest=new int[len];
for (int i=0; i<len; i++)
longest[i] = 1;
for (int j=1; j<len; j++) ////L[j]={ max(L(i))+1, i<j且a[i]<a[j] }
{
for (int i=0; i<j; i++)
{
if (arr[j]>arr[i] && longest[j]<longest[i]+1)
{ //注意longest[j]<longest[i]+1这个条件，不能省略。
longest[j] = longest[i] + 1; //计算以arr[j]结尾的序列的最长递增子序列长度
}
}
}
int max = 0;
for (int j=0; j<len; j++)
{
cout << "longest[" << j << "]=" << longest[j] << endl;
if (longest[j] > max)
max = longest[j]; //从longest[j]中找出最大值
}
delete longest;
longest=NULL;
return max;
} 最长公共子序列
int cmp(const void *a,const void *b)
{
return *(int*)a-*(int *)b;
}
int lis4(int *a,int len)
{
int result=0;
int *tempArray=new int[len];//有序数组
for(int i=0;i<len;i++)
tempArray[i]=a[i];
qsort(tempArray,len,sizeof(int),cmp);//排序
//动态申请二维数组
int **LCS=new int*[len+1];
for(int i=0;i<len+1;i++)
LCS[i]=new int[len+1];
for(int i=0;i<len+1;i++)
for(int j=0;j<len+1;j++)
LCS[i][j]=0;
for(int i=1;i<len+1;i++)//求LCS
{
for(int j=1;j<len+1;j++)
{
if(a[i-1]==tempArray[j-1])
LCS[i][j]=LCS[i-1][j-1]+1;
else if(LCS[i-1][j]>LCS[i][j-1])
LCS[i][j]=LCS[i-1][j];
else
LCS[i][j]=LCS[i][j-1];
}
}
result=LCS[len][len];
delete []tempArray;
for(int i=0;i<len;i++)
delete []LCS[i];
delete []LCS;
return result;
}O(NlgN）算法
如果存在一个序列d[1..9] ={ 2，1 ，5 。3 ，6。4， 8 ，9， 7}。能够看出来它的LIS长度为5。
用一个动态增长的数组B，B[i](i从1開始，最大为数组d的长度。当d是有序数组时。
)表示当前相应长度为i的LIS的最小末尾。即全部的长度为i的递增序列arr中,B[i]=min{全部的arr[i]}。如长度为3的递增序列能够是{1,3,6}、{1,3,4}，则B[3]=4。这样数组B是一个有序序列。
以下一步一步试着找出它。
方法：遍历数组d。不断跟新数组B。当遍历到d[j]时，d中以d[j]结尾的最长递增子序列的长度一定是将d[j]插入B中的位置，由于B中记录了当前相应各个长度的最小末尾。
我们定义一个序列B。然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录如今最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里。令B[1] = 2，就是说当仅仅有1一个数字2的时候。长度为1的LIS的最小末尾是2。
这时Len=1
然后。把d[2]有序地放到B里。令B[1] = 1。就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了。非常easy理解吧。
这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]。所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5。非常easy理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3。它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，由于1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样非常easy推知。长度为2的LIS最小末尾是3，于是能够把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续。d[5] = 6，它在3后面。由于B[2] = 3, 而6在3后面。于是非常easy能够推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是非常easy理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就能够把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它非常大。比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间。所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
注意，这个1,3,4,7,9不是LIS，它仅仅是存储的相应长度LIS的最小末尾。
有了这个末尾，我们就能够一个一个地插入数据。尽管最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义。可是假设后面再出现两个数字 8 和 9，那么就能够把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，并且是进行替换而不须要挪动——也就是说，我们能够使用二分查找。将每个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就减少到了O(NlogN)～！
代码例如以下（代码中的数组B从位置0開始存数据）：
<span style="font-weight: normal;">int lis3(int *array, int n) //计算最长递增子序列的长度,计算B数组的元素,array[]循环完一遍后,B的长度len即为所求
{
</span><span style="font-weight: normal;"> int *B=new int[n];
int len = 1; //B的初始长度
B[0] = array[0];
int i, pos = 0;
for(i=1; i<n; ++i) //遍历数组array
{
if(array[i] > B[len-1]) //假设大于B中最大的元素，则直接插入到B数组末尾
{
B[len] = array[i];
++len;
}
else
{
pos = BiSearch(B, len, array[i]); //二分查找须要插入的位置
B[pos] = array[i]; //改动B[pos],</span><span style="color:#ff0000;">这里是改动不想一般的做插入操作</span><span style="font-weight: normal;">
}
}
return len;
}
//改动的二分查找算法。返回数组元素须要插入的位置。
int BiSearch(int *b, int len, int w)
{
int left = 0, right = len - 1;
int mid;
while (left <= right)
{
mid = left + (right-left)/2;
if (b[mid] > w)
right = mid - 1;
else if (b[mid] < w)
left = mid + 1;
else //找到了该元素。则直接返回
return mid;
}
return left;//数组b中不存在该元素，则返回该元素应该插入的位置
}</span>
