floyd算法

这个算法主要要弄懂三个循环的顺序关系。

弗洛伊德（Floyd）算法过程：
１、用D[v][w]记录每一对顶点的最短距离。
２、依次扫描每个点，并以其为基点再遍历全部每一对顶点D[][]的值，看看是否可用过该基点让这对顶点间的距离更小。

算法理解：

最短距离有三种情况：
１、两点的直达距离最短。（例如以下图<v,x>）
２、两点间仅仅通过一个中间点而距离最短。（图<v,u>）
３、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。（图<v,w>）

对于第一种情况：在初始化的时候就已经找出来了且以后也不会更改到。
对于另外一种情况：弗洛伊德算法的基本操作就是对于每一对顶点，遍历全部其他顶点，看看可否通过这一个顶点让这对顶点距离更短，也就是遍历了图中全部的三角形（算法中对同一个三角形扫描了九次，原则上仅仅用扫描三次就可以，但要增加推断，效率更低）。
对于第三种情况：例如以下图的五边形，可先找一点（比方x，使<v,u>=2），就变成了四边形问题，再找一点（比方y,使<u,w>=2），可变成三角形问题了（v,u,w），也就变成另外一种情况了，由此对于n边形也能够一步步转化成四边形三角形问题。（这里面不用操心哪个点要先找哪个点要后找，由于找了任一个点都能够使其变成（n－1）边形的问题）。

结合代码 并參照上图所看到的 我们来模拟运行下 这样才干加深理解：
第一关键步骤：当k运行到x，i=v,j=u时，计算出v到u的最短路径要通过x，此时v、u联通了。
第二关键步骤：当k运行到u，i=v，j=y，此时计算出v到y的最短路径的最短路径为v到u，再到y(此时v到u的最短路径上一步我们已经计算过来，直接利用上步结果)。
第三关键步骤：当k运行到y时，i=v，j=w，此时计算出最短路径为v到y(此时v到y的最短路径长在第二步我们已经计算出来了)，再从y到w。

依次扫描每一点(k)，并以该点作为中介点，计算出通过k点的其它随意两点(i,j)的最短距离，这就是floyd算法的精髓！同一时候也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环的原因.

对于这个算法,网上有一个证明的版本号：

 floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描写叙述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们须要为这个目标又一次做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在），floyd算法增加了这个概念  A^k(i,j)：表示从i到j中途不经过索引比k大的点的最短路径。

    这个限制的重要之处在于，它将最短路径的概念做了限制，使得该限制有机会满足迭代关系，这个迭代关系就在于研究：如果A^k(i,j)已知，能否够借此推导出A^k-1(i,j)。

    如果我如今要得到A^k(i,j)，而此时A^k(i,j)已知，那么我能够分两种情况来看待问题：1. A^k(i,j)沿途经过点k；2. A^k(i,j)不经过点k。如果经过点k，那么非常显然，A^k(i,j) = A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j)，为什么是A^k-1呢？因为对(i,k)和(k,j)，因为k本身就是源点（或者说终点），加上我们求的是A^k(i,j)，所以满足不经过比k大的点的条件限制，且已经不会经过点k，故得出了A^k-1这个值。那么遇到另外一种情况，A^k(i,j)不经过点k时，因为没有经过点k，所以依据概念，能够得出A^k(i,j)=A^k-1(i,j)。如今，我们确信有且仅仅有这两种情况---不是经过点k，就是不经过点k，没有第三种情况了，条件非常完整，那么是选择哪一个呢？非常easy，求的是最短路径，当然是哪个最短，求取哪个，故得出式子：

    A^k(i,j) = min( A^k-1(i,j), A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j) )

    如今已经得出了A^k(i,j) = A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j)这个递归式，但显然该递归还没有一个出口，也就是说，必须定义一个初始状态，其实，这个初始状态取决于索引k是从0開始还是从1開始，上面的代码是C写的，是以0为開始索引，但一般描写叙述算法似乎习惯用1做開始索引，假设是以1为開始索引，那么初始状态值应设置为A⁰了，A⁰(i,j)的含义不难理解，即从i到j的边的距离。也就是说，A⁰(i,j) = cost(i,j) 。因为存在i到j不存在边的情况，也就是说，在这样的情况下，cost(i,j)无限大，故A⁰(i,j) = oo（当i到j无边时）

    到这里，已经列出了求取A^k(i,j)的整个算法了，可是，终于的目标是求dist(i,j)，即i到j的最短路径，怎样把A^k(i,j)转换为dist(i,j)？这个事实上非常easy，当k=n（n表示索引的个数）的时候，即是说，Aⁿ(i,j)=dist(i,j)。那是由于当k已经最大时，已经不存在索引比k大的点了，那这时候的Aⁿ(i,j)事实上就已经是i到j的最短路径了。

    从floyd算法中不难看出，要设计一个好的动态规划算法，首先须要研究能否把目标进行又一次诠释（这一步是最关键最富创造力的一步），转化为一个能够被分解的子目标，假设能够转化，就要想办法寻找数学等式使目标收敛为子目标，假设这一步能够实现了，还须要研究该递归收敛式的出口，即初始状态是否明白（这一步往往已经简单了）。

假设须要保存最短路径，须要借助path数组：

当中我们用 path 数组记录 经过路径 事实上 path 的定义例如以下  path[i][j]  = k 表示 是最短路径 i-……j  和 j 的直接 前驱  为 k 即是： i-->...............-->k ->j

举样例：

如  1-> 5->4   4->3->6  此时 path[1][6] = 0 ； 0表示 1->6 不通  当我们 引入 节点 k = 4 此时有 1->5->4->3->6 显然有 paht[1][6] = 3 = paht[4][6] = paht[k][6]

于是有 path[i][j] = path[k][j] 

对于 1->5 相邻边 我们能够在初始化时候 有 paht[1][5] = 1;

如是对于 最短路径 1->5->4->3->6 有 paht[1][6] = 3; paht[1][3]= 4; paht[1][4] = 5; paht[1][5] =1 如此逆推不难得到 最短路径记录值 。

#include "iostream"
#include "vector"
#include "stack"
#include "fstream"
using namespace std;
std::vector<vector<int> > weight;
std::vector<vector<int> > path;
int vertexnum;
int edgenum;
const int intmax = 10000;
void initialvector(){
	weight.resize(vertexnum);//路径权重数组
	path.resize(vertexnum);//保存最短路径数组,记录前继
	for(int i = 0;i < vertexnum;i++){//建立数组
		weight[i].resize(vertexnum,intmax);
		path[i].resize(vertexnum,-1);
	}
}
void getData(){//获取数据
	ifstream in("data");
	in>>vertexnum>>edgenum;
	initialvector();
	int from,to;
	double w;
	while(in>>from>>to>>w){
		weight[from][to] = w;
		path[from][to] = from;//to的前继是from
		weight[from][from] = 0;//自身到自身的权重为0
		path[from][from] = from;
		weight[to][to] = 0;
		path[to][to] = to;
	}
}
void floyd(){
	for(int k = 0;k < vertexnum;k++)
		for(int i= 0;i < vertexnum;i++)
			for(int j = 0;j < vertexnum;j++){
				if((weight[i][k] > 0 && weight[k][j] && weight[i][k] < intmax && weight[k][j] < intmax) && (weight[i][k] + weight[k][j] < weight[i][j])){//前面一部分是防止加法溢出
					weight[i][j] = weight[i][k] + weight[k][j];
					path[i][j] = path[k][j];
				}
			}
}
void displaypath(int source,int dest){
	stack<int> shortpath;
	int temp = dest;
	while(temp != source){
		shortpath.push(temp);
		temp = path[source][temp];
	}
	shortpath.push(source);
	cout<<"short distance:"<<weight[source][dest]<<endl<<"path:";
	while(!shortpath.empty()){
		cout<<shortpath.top()<<" ";
		shortpath.pop();
	}
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
	getData();  
    for(int i = 0;i < vertexnum;i++){  
        for(int j = 0;j < vertexnum;j++){  
            cout<<weight[i][j]<<"\t";  
        }  
        cout<<endl;  
    }
    floyd();
    displaypath(2,1);
	return 0;
}

数据：

6 9
0 1 3
0 3 4
0 5 5
1 2 1
1 5 5
2 3 5
3 1 3
4 3 3
4 5 2
5 3 2
參考：http://chenchuangfeng.iteye.com/blog/1816976

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

http://blog.csdn.net/start0609/article/details/7779042

http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6772706

http://nopainnogain.iteye.com/blog/1047818

http://blog.csdn.net/earbao/article/details/8114861

http://blog.csdn.net/roofalison/article/details/5651806