矩阵求导术（上）

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矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母\boldsymbol{x} 表示向量，大写字母X表示矩阵。

 

首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为\frac{\partial f}{\partial X} = \left[\frac{\partial f }{\partial X_{ij}}\right]，即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是在对较复杂的函数难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将f看做矩阵X而不是各元素X_{ij}的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：df = f'(x)dx；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：df = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x} ，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}与微分的联系；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系：df = \sum_{i,j} \frac{\partial f}{\partial X_{ij}}dX_{ij} = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right) ，这里tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，\text{tr}(A^TB) = \sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}，即\text{tr}(A^TB)是矩阵A,B的内积，因此上式与原定义相容。

 

然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如f = \log(2+\sin x)e^{\sqrt{x}}，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：

  1. 加减法：d(X\pm Y) = dX \pm dY；矩阵乘法：d(XY) = dX Y + X dY ；转置：d(X^T) = (dX)^T；迹：d\text{tr}(X) = \text{tr}(dX)。
  2. 逆：dX^{-1} = -X^{-1}dX X^{-1}。此式可在XX^{-1}=I两侧求微分来证明。
  3. 行列式：d|X| = \text{tr}(X^{\#}dX) ，其中X^{\#}表示X的伴随矩阵，在X可逆时又可以写作d|X|= |X|\text{tr}(X^{-1}dX)。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
  4. 逐元素乘法：d(X\odot Y) = dX\odot Y + X\odot dY，\odot表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。
  5. 逐元素函数：d\sigma(X) = \sigma'(X)\odot dX ，\sigma(X) = \left[\sigma(X_{ij})\right]是逐元素运算的标量函数。

 

我们试图利用矩阵导数与微分的联系df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right) ，在求出左侧的微分df后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：

  1. 标量套上迹：a = \text{tr}(a)
  2. 转置：\mathrm{tr}(A^T) = \mathrm{tr}(A)。
  3. 线性：\text{tr}(A\pm B) = \text{tr}(A)\pm \text{tr}(B)。
  4. 矩阵乘法交换：\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)。两侧都等于\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}。
  5. 矩阵乘法/逐元素乘法交换：\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)。两侧都等于\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}。

 

观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，即能得到导数。

 

在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得\frac{\partial f}{\partial Y}，而Y是X的函数，如何求\frac{\partial f}{\partial X}呢？在微积分中有标量求导的链式法则\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}，但这里我们不能沿用链式法则，因为矩阵对矩阵的导数\frac{\partial Y}{\partial X}截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right)，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧，即可得到\frac{\partial f}{\partial X}。

 

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。

例1：f = \boldsymbol{a}^T X\boldsymbol{b}，求\frac{\partial f}{\partial X}。

解：先使用矩阵乘法法则求微分：df = \boldsymbol{a}^T dX\boldsymbol{b} ，再套上迹并做交换：df = \text{tr}(\boldsymbol{a}^TdX\boldsymbol{b}) = \text{tr}(\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^TdX)，对照导数与微分的联系，得到\frac{\partial f}{\partial X} = \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T。

注意：这里不能用\frac{\partial f}{\partial X} =\boldsymbol{a}^T \frac{\partial X}{\partial X}\boldsymbol{b}=?，导数与乘常数矩阵的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

 

例2【线性回归】：l = \|X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y}\|^2，求\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}。

解：严格来说这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。将向量范数写成l = (X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})^T(X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：dl = (Xd\boldsymbol{w})^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})+(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^T(Xd\boldsymbol{w}) = 2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TXd\boldsymbol{w}。对照导数与微分的联系，得到\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}= 2X^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})。

 

例3【多元logistic回归】：l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W\boldsymbol{x})，求\frac{\partial l}{\partial W}。其中\boldsymbol{y}是除一个元素为1外其它元素为0的向量；\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}，其中\exp(\boldsymbol{a})表示逐元素求指数，\boldsymbol{1}代表全1向量。

解：首先将softmax函数代入并写成l = -\boldsymbol{y}^T \left(\log (\exp(W\boldsymbol{x}))-\boldsymbol{1}\log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))\right) = -\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))，这里要注意逐元素log满足等式\log(\boldsymbol{u}/c) = \log(\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{1}\log(c)，以及\boldsymbol{y}满足\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{1} = 1。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：dl =- \boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right)}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}。再套上迹并做交换，注意可化简\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right) = \exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}，这是根据等式\boldsymbol{1}^T (\boldsymbol{u}\odot \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{u}^T \boldsymbol{v}，故dl = \text{tr}\left(-\boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}\right) =\text{tr}(\boldsymbol{x}(\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})^TdW)。对照导数与微分的联系，得到\frac{\partial l}{\partial W}= (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T。

另解：定义\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}，则l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a}) ，先如上求出\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}} = \text{softmax}(\boldsymbol{a})-\boldsymbol{y} ，再利用复合法则：dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^Td\boldsymbol{a}\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW \boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW\right)，得到\frac{\partial l}{\partial W}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}^T。

 

例4【方差的最大似然估计】：样本\boldsymbol{x}_1,\dots, \boldsymbol{x}_n\sim N(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)，其中\Sigma是对称正定矩阵，求方差\Sigma的最大似然估计。写成数学式是：l = \log|\Sigma|+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})，求\frac{\partial l }{\partial \Sigma}的零点。

解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是d\log|\Sigma| = |\Sigma|^{-1}d|\Sigma| = \text{tr}(\Sigma^{-1}d\Sigma)，第二项是\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^Td\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}) = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})。再给第二项套上迹做交换：dl = \text{tr}\left(\left(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}\right)d\Sigma\right)，其中S = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T定义为样本方差。对照导数与微分的联系，有\frac{\partial l }{\partial \Sigma}=(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1})^T，其零点即\Sigma的最大似然估计为\Sigma = S。

 

最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。

例5【二层神经网络】：l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W_2\sigma(W_1\boldsymbol{x}))，求\frac{\partial l}{\partial W_1}和\frac{\partial l}{\partial W_2}。其中\boldsymbol{y}是除一个元素为1外其它元素为0的向量，\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}同例3，\sigma(\cdot)是逐元素sigmoid函数\sigma(a) = \frac{1}{1+\exp(-a)}。

解：定义\boldsymbol{a}_1=W_1\boldsymbol{x}，\boldsymbol{h}_1 = \sigma(\boldsymbol{a}_1)，\boldsymbol{a}_2 = W_2 \boldsymbol{h}_1，则l =-\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)。在例3中已求出\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2} = \text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)-\boldsymbol{y} 。使用复合法则，注意此处\boldsymbol{h}_1, W_2都是变量：dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^Td\boldsymbol{a}_2\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TdW_2 \boldsymbol{h}_1\right) + \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TW_2 d\boldsymbol{h}_1\right)，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到\frac{\partial l}{\partial W_2}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}\boldsymbol{h}_1^T，从第二项得到\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_1}= W_2^T\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}。接下来求\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}，继续使用复合法则，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^Td\boldsymbol{h}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^T(\sigma'(\boldsymbol{a}_1)\odot d\boldsymbol{a}_1)\right) = \text{tr}\left(\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot \sigma'(\boldsymbol{a}_1)\right)^Td\boldsymbol{a}_1\right)，得到\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot\sigma'(\boldsymbol{a}_1)。为求\frac{\partial l}{\partial W_1}，再用一次复合法则：\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^Td\boldsymbol{a}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\right)，得到\frac{\partial l}{\partial W_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}\boldsymbol{x}^T。

posted @ 2017-12-22 09:39  outthinker  阅读(1222)  评论(0)  编辑  收藏  举报