第四届蓝桥杯编程题:带分数

标题：带分数

    100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714

    还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197

    注意特征：带分数中，数字1~9分别出现且只出现一次（不包含0）。

    类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。

题目要求：
从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)
程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。
注意：不要求输出每个表示，只统计有多少表示法！

例如：
用户输入：
100
程序输出：
11


再例如：
用户输入：
105
程序输出：
6


资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 64M
CPU消耗  < 3000ms


请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

 

 

分析：这道题初看起来第一感觉就是用暴力破解应该可以搞定，但是时间复杂度应该会相当可观，仔细观察，会发现这道题无非是全排列的一种运用，把等式定义为：

N=A+B/C ，则ABC组合在一起就是1到9的一个全排列，所以可以把问题转换成对于一个9位数的数字，如何将其划分为A、B、C三部分，使得其满足N=A+B/C（隐含条件:

B%C==0）,对于一个9位数可以这样考虑：A是不可能大于N的，所以A的位数只可能是从1位到和N相同位数这个范围，确定了A的位数之后，剩下的就是B和C的总位数，

B数字的开始位置即A数字的下一位，C数字的最后一位就是整个9位数的最后一位，那如何确定B的结束位置呢？

这里有个小技巧，可以大大减少可能性的判断：

假设A的结束位置为 aEnd,则aEnd+1~9就是B和C的位置，在这个位置范围内，B最少占据了一半的数字，否则B/C就不能整除了，所以可以从aEnd+1~9的中间位置开始

确定B的结束位置，这时候可以从中间位置开始向后确定B的结束位置，一直到8的位置，确定了B的结束位置，则A、B、C三个数字的具体值就都可以确定了，判断是否符

合等式N=A+B/C，符合则输出。

以上确定B的结束位置的方法其实不怎么好，因为还是会浪费一些时间（自己模拟下就知道了），不过已经可以在规定的时间内得出答案了。

这里再介绍一种确定B结束位置的方法，可以让性能再提高一些：

 

观察等式：N=A+B/C，可以转换成==》B=(N-A)*C，N和A确定了(先确定A的结束位置后，再来确定B的结束位置的)，C的最后一个数字确定了(整个9位数最后一位)，即可以确定B最后一个数字了(这里将其定义为BL)，这样可以从以上的aEnd+1~9的中间位置开始找，直到8，当数字为BL时，则判读是否符合等式：N=A+B/C，可以想想，其实这种等于BL的位置至多有一次(因为数字1到9不能重复出现)，所以第一次找到和BL匹配的数字的时候就不用再往后找了。用这种方法，提高的性能还是非常可观的！

 According to :   http://blog.csdn.net/keepthinking_/article/details/8947014

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

int number, n = 0;
int list[9] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

int test;

void swap(int *a, int *b)
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

int getNum(int s, int an)
{
    int i, num = 0;
    for (i = s; i <= an; i++)
    {
        num = list[i] + num * 10;
    }
    return num;
}

void perm(int k, int m, int x)
{
    int i, j, a, b, c;
    
    if (k > m)
    {
        for (i = 0; i < x; i++)
        {
            a = getNum(0, i);
            test=((number-a)*list[8])%10;
            for (j =i+(8-i)/2; j < 8; j++)
            {
                if(list[j]==test)
                {
                    b = getNum(i + 1, j);
                    c = getNum(j + 1, 8);
                    if (b % c == 0 && a + b / c == number)
                    {
                        n++;
                    }
                    break;
                }
            }
            
        }
        
    }
    else
    {
        for (i = k; i <= m; i++)
        {
            swap(&list[k], &list[i]);
            perm(k + 1, m, x);
            swap(&list[k], &list[i]);
        }
    }
}

int main() 
{
    clock_t s1, s2;
    int temp, x;
    while(scanf("%d", &number) != EOF && number != 0)
    {
        x = 0;
        temp = number;
        s1 = clock();
        n = 0;
        while (temp != 0) 
        {
            x++;
            temp /= 10;
        }
        perm(0, 8, x);
        printf("total:%d\n", n);
        s2 = clock();
        printf("%f ms\n", (double)(s2 - s1));
    }
}