第四届蓝桥杯编程题:带分数
标题:带分数
100 可以表示为带分数的形式:100 = 3 + 69258 / 714
还可以表示为:100 = 82 + 3546 / 197
注意特征:带分数中,数字1~9分别出现且只出现一次(不包含0)。
类似这样的带分数,100 有 11 种表示法。
题目要求:
从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)
程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。
注意:不要求输出每个表示,只统计有多少表示法!
例如:
用户输入:
100
程序输出:
11
再例如:
用户输入:
105
程序输出:
6
资源约定:
峰值内存消耗(含虚拟机) < 64M
CPU消耗 < 3000ms
请严格按要求输出,不要画蛇添足地打印类似:“请您输入...” 的多余内容。
分析:这道题初看起来第一感觉就是用暴力破解应该可以搞定,但是时间复杂度应该会相当可观,仔细观察,会发现这道题无非是全排列的一种运用,把等式定义为:
N=A+B/C ,则ABC组合在一起就是1到9的一个全排列,所以可以把问题转换成对于一个9位数的数字,如何将其划分为A、B、C三部分,使得其满足N=A+B/C(隐含条件:
B%C==0),对于一个9位数可以这样考虑:A是不可能大于N的,所以A的位数只可能是从1位到和N相同位数这个范围,确定了A的位数之后,剩下的就是B和C的总位数,
B数字的开始位置即A数字的下一位,C数字的最后一位就是整个9位数的最后一位,那如何确定B的结束位置呢?
这里有个小技巧,可以大大减少可能性的判断:
假设A的结束位置为 aEnd,则aEnd+1~9就是B和C的位置,在这个位置范围内,B最少占据了一半的数字,否则B/C就不能整除了,所以可以从aEnd+1~9的中间位置开始
确定B的结束位置,这时候可以从中间位置开始向后确定B的结束位置,一直到8的位置,确定了B的结束位置,则A、B、C三个数字的具体值就都可以确定了,判断是否符
合等式N=A+B/C,符合则输出。
以上确定B的结束位置的方法其实不怎么好,因为还是会浪费一些时间(自己模拟下就知道了),不过已经可以在规定的时间内得出答案了。
这里再介绍一种确定B结束位置的方法,可以让性能再提高一些:
观察等式:N=A+B/C,可以转换成==》B=(N-A)*C,N和A确定了(先确定A的结束位置后,再来确定B的结束位置的),C的最后一个数字确定了(整个9位数最后一位),即可以确定B最后一个数字了(这里将其定义为BL),这样可以从以上的aEnd+1~9的中间位置开始找,直到8,当数字为BL时,则判读是否符合等式:N=A+B/C,可以想想,其实这种等于BL的位置至多有一次(因为数字1到9不能重复出现),所以第一次找到和BL匹配的数字的时候就不用再往后找了。用这种方法,提高的性能还是非常可观的!
According to : http://blog.csdn.net/keepthinking_/article/details/8947014
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1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <time.h> 4 5 int number, n = 0; 6 int list[9] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 7 8 int test; 9 10 void swap(int *a, int *b) 11 { 12 int temp = *a; 13 *a = *b; 14 *b = temp; 15 } 16 17 int getNum(int s, int an) 18 { 19 int i, num = 0; 20 for (i = s; i <= an; i++) 21 { 22 num = list[i] + num * 10; 23 } 24 return num; 25 } 26 27 void perm(int k, int m, int x) 28 { 29 int i, j, a, b, c; 30 31 if (k > m) 32 { 33 for (i = 0; i < x; i++) 34 { 35 a = getNum(0, i); 36 test=((number-a)*list[8])%10; 37 for (j =i+(8-i)/2; j < 8; j++) 38 { 39 if(list[j]==test) 40 { 41 b = getNum(i + 1, j); 42 c = getNum(j + 1, 8); 43 if (b % c == 0 && a + b / c == number) 44 { 45 n++; 46 } 47 break; 48 } 49 } 50 51 } 52 53 } 54 else 55 { 56 for (i = k; i <= m; i++) 57 { 58 swap(&list[k], &list[i]); 59 perm(k + 1, m, x); 60 swap(&list[k], &list[i]); 61 } 62 } 63 } 64 65 int main() 66 { 67 clock_t s1, s2; 68 int temp, x; 69 while(scanf("%d", &number) != EOF && number != 0) 70 { 71 x = 0; 72 temp = number; 73 s1 = clock(); 74 n = 0; 75 while (temp != 0) 76 { 77 x++; 78 temp /= 10; 79 } 80 perm(0, 8, x); 81 printf("total:%d\n", n); 82 s2 = clock(); 83 printf("%f ms\n", (double)(s2 - s1)); 84 } 85 }