01背包问题

题目

  有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量,且价值总和最大。

基本思路

  这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。

 

  用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。 可以压缩空间,f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

 

  这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

 

  注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集,其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后,最终的答案并不一定是f[N] [V],而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉,在转移方程中就要再加入一项f[v-1],这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以,由你自己来体会了。

优化空间复杂度

  以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V),其中时间复杂度基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(N)。

 

  先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组f [0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?

 

  f[i][v]是由f[i-1][v]和f [i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[v]和f[v -c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:

 

  for i=1..N

 

  for v=V..0

 

  f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

 

  其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的

 

  f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

 

基础题

01:http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=289

 1  
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<string.h>
 4 int m=-1;
 5 int max(int x,int y)
 6 {
 7     if(x>y)return x;
 8     else return y;
 9 }
10 int main()
11 {
12     int f[1001],i,n,v,c[1001],w[1001],j;
13     while(scanf("%d %d",&n,&v)!=EOF&&n||v)
14     {
15         memset(f,0,sizeof(f));
16         m=-1;
17         for(i=1;i<=n;i++)
18         {
19             scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);
20         }
21         for(i=1;i<=n;i++)
22         {
23             for(j=v;j>=c[i];j--)
24             {
25                 f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
26                 if(f[j]>m)
27                 m=f[j];
28             }
29         }
30         printf("%d\n",m);
31     }
32 }        
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02:http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=49

 1  
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<string.h>
 4 int max(int x,int y)
 5 {
 6     if(x>y)return x;
 7     else return y;
 8 }
 9 int main()
10 {
11     int N,t,m,i,f[30001],v[3000],w[3000];
12     scanf("%d",&N);
13     int ans=-1;
14     while(N--)
15     {
16         scanf("%d %d",&t,&m);
17         memset(f,0,sizeof(f));
18         ans=-1;
19         for(i=1;i<=m;i++)
20         {
21             scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);
22         }
23         for(i=1;i<=m;i++)
24         {
25             for(int j=t;j>=v[i];j--)
26             {
27                 f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+v[i]*w[i]);
28             }
29             
30         }
31         printf("%d\n",f[t]);
32     }
33 }        
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posted @ 2014-03-24 22:20  陈泽泽  阅读(204)  评论(0编辑  收藏  举报