矩阵与变换
向量组的线性相关性
题一：
a：是。它们都是线性无关的。含有两个向量的向量组，若两个向量的分量对应成比例则线性相关，否则线性无关。
b：否。两两线性无关并不能说明总体线性无关。
c：否。有可能某一或某些向量并不是其他向量的线性组合，但整体依然线性相关。
d：是。因为向量个数超过了向量的元素个数（维度）。也就是说它构成的系数矩阵是欠秩的，也必然有自由变量。
向量组线性相关性的定义：
我对线性无关的理解是：找不到这样一组不全为零（非平凡）的权值，使得向量组中有至少一个向量能被其他向量的线性组合所表示。
反之，只要向量组里有一个向量能被其他向量线性表示，我们就称这个向量组线性相关。
而且，如果向量组线性相关，必然有无穷多组权使得向量方程有解。
——>齐次方程有无穷多非零解。
如果我们能找到一组值（x1,x2,x3……xn）将这n向量分别进行放缩后，能够首尾相接，那我们就说它们是线性相关的。
以二维向量组为例，已知，两个不共线的二维向量可以表示平面所有向量，它们构成的向量集合span（r1，r2）=R^2，那么向量数量超过两个的二维向量组必然线性相关。
因为剩余的向量都包含在构造的向量集里了。
v1，v2的所有线性组合，等于二维空间的所有向量
线性组合或表示式的代数意义是向量数乘和加法的综合。它的几何意义，就是对向量组内的向量长度进行缩放后，依照平行四边形法则进行合并相加。
两个向量组等价的几何意义也很好理解：它们所扩张的直线，平面，空间（所有线性组合的集合）重合。
如何判断向量组是否线性相关？有以下几个方法：
1.向量组的向量个数超过向量的元素个数（维数）时，该向量组必然线性相关。
2.研究向量组构成的齐次线性方程组的解的情况，如果有非平凡解，则线性相关，否则线性无关。
非平凡解<——>矩阵的秩小于列数n<——>无穷多解<——>有自由变量<——>线性相关
只有零解<——>矩阵的秩等于列数n<——>有唯一解<——>线性无关
（矩阵的秩的定义为：行或列向量的极大线性无关组，小于等于（行数或列数的最小值）。行秩等于列秩等于秩。
矩阵的秩不可能大于列数，例如两个三维向量不可能张成三维空间。）
推论——>计算该向量组构成的行列式，如果|A|=0，则线性相关。
对于R^n中的向量x，R^m中的向量T（x） 称为x在T作用下的像。所有像的集合称之为值域。
（R^n称为定义域，R^m称为余定义域。）
矩阵就是变换。
从R^n到R^m的所有线性变换T，都是矩阵变换x——>Ax。T的值域就是A所有列向量的所有线性组合。
说了半天，什么叫做线性变换？
1）叠加性：和的变换等于变换的和。f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
2）齐次性：比例的变换等于变换的比例。f(kx)=kf(x)
这两点合起来，就是线性组合:f(k1x1+k2x2)=k1f(x1)+k2f(x2)。每个矩阵变换都是线性变换。
我们把这样的矩阵称为线性变换T的标准矩阵。
满射与单射
满射
如果矩阵的列向量构造的线性组合集=R^m，即R（A）行满秩时，我们说这个映射是满射的。
单射（一对一映射翻译不恰当）
题目二：
解：R（A）=3，说明矩阵的列向量张成R^3,若x为四维向量，则AX=b有解。故（1）对。
方程AX=b有一个自由变量，意味着对于每一个b，有多个X与之对应，所以该映射不是单射。
（R（A）<4，意味着有一个维度在变换中被消解了。我们得到的是投影。）
矩阵与向量的乘法
矩阵与向量相乘
矩阵与向量相乘，就是把向量映射到矩阵A的列向量所张成的空间（集合）里。新向量就是以原向量各个元素为权（坐标）的列向量（坐标基）的线性组合。
我们知道向量是既有大小有有方向的量，它的存在和描述是不依赖于坐标系的，它表示的是两点之间的位移。（一个点离开坐标系是没法描述的。）
向量经矩阵转换后，得到的是它在矩阵的列向量构成的空间中的投影。
