BSGS算法

BSGS算法

A^x≡B(%C) 已知A、B、C 求x

题意应该很好理解。

设x=i*m-j 这样就有A^(i*m-j)≡B(%C)  A^j*B≡A^(i*m)（%C）

枚举j,范围0~m 将A^j*B的值存下来

枚举i,范围1~m 第一个满足A^j×B=A^(m*i) (mod C)时的i*m-j即为所求。

当然此时有可能是负值，所以记得特殊处理一下，

 

还要一个问题没有解决，m的值如何确定？

ceil(C)是m的上限，为什么？

费马小定理：a^(p-1)≡1(%p) p是质数，a,p互质，这里的p就相当于本题中的C

同时很容易得到a^{(k mod p-1)≡}a^k(mod p)的公式

 

k mod p-1就是k-m(p-1),原式就变成了a^k-m(p-1)≡a^k(mod p)，即a^k/a^m(p-1)≡a^k (mod p) 

得到：a^m(p-1)≡1(mod p)。所以 a^{(k mod p-1)}≡a^k(mod p) 

 

所以：如果枚举x的话枚举到p即可。

 

所以使im−j<=p,即m=ceil(C),i,j最大值也为m。

 

省选有02，用map相当方便

 

#include<cstdio>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
int a,b,c;
map<long long,int>mp; 
long long ksm(long long p)
{
    long long t=1,s=a;
    while(p)
    {
        if(p&1) t=(t*s)%c;
        p>>=1;
        s=s*s%c;
    }
    return t;
}
int main()
{
    scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
    int m=ceil(sqrt(c)),t=b%c,ans;
    mp[t]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        t=(t*a)%c;
        mp[t]=i;
    }
    int x=ksm(m);
    t=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        t=(t*x)%c;
        if(mp[t])
        {
            ans=i*m-mp[t];
            printf("%d",(ans%c+c)%c);
            break;
        }
    }
    return 0;
}