前缀和/差分——acwing算法基础课笔记

个人笔记，欢迎补充，指正。

一维前缀和

对于数组：

　　　　　　a[1],a[2],a[3]...a[n];

其前缀和数组为

　　　　　　s[i] = a[1] + a[2] + ... + a[i];

下标必须从1开始

求前缀和

for(int i=1;i<=n;++i)
    s[i] = s[i-1] + a[i];

s[0]需要定义为0

作用

求原数组里一段数（l，r）的和sum

若不用前缀和，求一段数和需要从l遍历到r，时间复杂度O（n）。

用前缀和：

　　　　sum = s[r] - s[l-1];

因为

　　　　s[r] = s[1] + s[2] + ... + s[l-1] + s[l] + ... + s[r];
    　　 s[l-1] = s[1] + s[2] + ... + s[l-1]; 　　

时间复杂度O（1）

注：该作用为前缀和最大的用处，也基本是唯一的用处。

s[0] = 0原因：

使得求s[i] 和 sum可以统一公式。

 

二维前缀和

对于矩阵：　　a[1][1] ~ a[x][y];

前缀和：　　　s[1][1] ~ s[x][y];

 

求前缀和

 上矩形的和加上左矩形的和减去左上矩形的和得出L形的和，加上a[i][j]。

for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
        s[i][j] = a[i][j] + s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];    

作用

求（x1,y1）到（x2,y2）矩形的和

 

sum = s[i][j] - s[i-1][j] - s[i][j-1] + s[i-1][j-1];

 

 

一维差分

对于数组

　　　　a[1],a[2],a[3]...a[n];

构造数组

　　　b[i] = a[i] - a[i-1]

数组b则为a的差分

主要作用

　　区间修改

　　将a的（l,r）的数加上一个常数c，

　　常规做法是历遍l~r，给每个数加c，每次复杂度O（n）。

　　而如果给b[l]加上c，那么还原a的（l,n）都将加c，

　　再在b[r+1]减去c，那么还原后(l,r)都加c，其他部分不修改。

　　在需要多次修改时，只有最后复原是O（n），前面修改都是O（1）。

　　缺点是：静态，只能在修改完成后访问，否则时间复杂度O（n），无意义。