算法导论 系列二：排序

堆

• 完全二叉树实现：节点i的左子2i，右子2i+1，父节点i/2
  • build_max_heap 复杂度O(n)
  • heap_sort 复杂度O(nlgn)n取最小
  • inset extract_max max_heap 复杂度均为O(n)
• 保持堆性质（递归下调）
  
• 建堆：O(n)次 调用 max_heap复杂为O（lgn）准确上界为O（n）
  
• 直接构造堆时间复杂度为O(n)， 插入构造堆复杂度为O(nlgn)

优先级队列

• 内部由堆实现
  • 抽取最大值
    

堆操作分析

• 建堆：从n/2至0调用求最大，调整位置使得根最大
• 插入：直接插入数组尾部，递归向上调整，保持堆性质
• 删除最值：直接交换根和尾值。缩小空间（-1），递归向下调整保持堆性质
• 优先队列操作间接调用堆操作
• k路归并，构建k路小根堆，每次取最小值，复杂度O(nlgk）

快排

• 找出pivit，以pivot为轴心做一次partition，分割成两个子集，对子集递归调用快排
• partiiton过程
  
  
• 快排性能分析：划分极端不对称时，复杂度退化为O(n^2)序列有序时性能退化最严重
• 随机化版本：随机选取pivot
  
• 利用随机化版本，快排期望时间复杂度为O(nlgn)

线性时间排序

• 计数排序
  • n个输入元素每一个都介于0~k之间，且k=O(n)
  • 对每一个输入的元素x都直接确定出比x小的元素的个数，则可以直接将其放入排序后的位置
    
  • 倒序插入是为了保证稳定性，即值相同元素的插入顺序与排序前顺序保持一致
• 基数排序
  • 先按低位排序，然后递归的的向高位排序
  • 复杂度O(d(n+k))
• 桶排序
  • 输入均匀分布时，可以达到线性时间复杂度
  • 桶内以插入排序实现
    
  • θ（n） + n*O(2-1/n) = θ（n）
• 中位数
  • 随机选择算法:平均情况下，顺序统计量可在O(n)复杂度内得到，最坏时间复杂度为O(n^2)
    
  • 最坏时间复杂度为O(n)的顺序统计量
  • pivot 的选择以中位数的中位数来衡量，保证避免最坏划分（组划分size>=5的奇数个，都可以保证线性时间复杂度）
    
  • select 方法嵌入快排的partition，可以使得快排的最坏时间复杂度为O(nlgn)
  • 任意序列的O(n)算法
    
  • 寻找两个已排序数组 （长度均为n）的中位数
    
  • 找出已排序的前i个最大数
    • 排序，输出前i个数，复杂度θ(nlgn)
    • 建立优先队列，输出i次最大值θ(n+ilgn)
    • 顺序统计量量找出第i大元素，然后以第i大元素作为pivot进行partition，将partiton结果排序 θ(n +ilgi)
    • 顺序读入元素，维护一个i个元素的大根堆，依次输出堆中元素。复杂度 θ（nlgi）