AtCoder Beginner Contest 276
咕咕咕咕。
E - Round Trip
如果存在某个点双满足这个点双包含起点且点双大小大于 \(4\) 则有解。
F - Double Chance
考虑不断在之前的基础上在末尾添加一个数，每次更新期望。
假设此前已经有 \(i - 1\) 个数了，期望为 \(E\) ，新添加的数为 \(a_i\) 。
在 \(i\) 个数中有放回的抽两个可以分为一下几种情况:
- 在前 \(i - 1\) 个数有放回的抽两个，概率为 \(\frac{(i - 1)^2}{i^2}\) ，值为 \(E\)。
- 一个属于前 \(i - 1\) 个数，一个为第 \(i\) 个数，概率为 \(\frac{i^2 - (i - 1)^2 - 1}{i^2}\) ，此时又分两种情况：
- 最大值属于前 \(i - 1\) 个数，值为 \(\dfrac{\sum_{j = 1}^{i - 1}[a_j > a_i]a_j}{i - 1}\)。
- 最大值为第 \(i\) 个数，值为 \(\dfrac{\sum_{j = 1}^{i - 1}[a_j \le a_i]a_i}{i - 1}\)。
- 两次都抽到第 \(i\) 个数，概率为 \(\frac{1}{i^2}\)，值为 \(a_i\)。
三种情况线性组合一下就能算出新的期望。
第二种情况就搞个树状数组之类的数据结构维护一下。
G - Count Sequences
考虑 \(b_1 = a_1, b_i = a_i - a_{i- 1}, b_{n+1} = m - a_n\) ， \(\sum_{i=1}^{n + 1} b_i = m\) ， \(b\) 和 \(a\) 一一对应，所以 \(b\) 的数量等于 \(a\) 的数量，问题转化为算 \(b\) 的数量。
依据题意， \(b_1\) 和 \(b_{n + 1}\) 可以随意，其余 \(b_i\) 需要满足模 \(3\) 余 \(1\) 或者模 \(3\) 余 \(2\)。
将 \(b_i\) 分解成 \(b_i = 3 y_i + x_i\)，其中 \(x_i = b_i \mod 3, y_i = \lfloor \frac{b_i}{3} \rfloor\)。
若固定 \(x_i\) ，则 \(y_i\) 与 \(b_i\) 一一对应。枚举所有可能的 \(x\)，计算每种情况下 \(y\) 的数量，就能算出 \(b\) 的数量。
对于\(x_i\)的部分，枚举 \(l = x_1\) ，枚举 \(r = x_{n + 1}\) ，枚举剩余 \(x_i\) 中 \(x_i = 2\) 的数量 \(i\) ，则剩余 \(t = m - l - r - (n - 1) - i\) 还没有使用，这样的 \(x\) 有 \(\binom{n - 1}{i}\) 种。而剩余部分就是 \(\sum_{i = 1}^{n + 1} 3y_i\) ，所以若 \(t\) 不是 \(3\) 的倍数则无效，否则 \(\sum_{i = 1}^{n + 1} y_i = \frac{t}{3}\) ，由插板法有满足这样条件的 \(y\) 有 \(\binom{n + \frac{t}{3}}{n}\) 种。
Ex - Construct a Matrix
To be solved.
