AtCoder Beginner Contest 247

比赛链接

A - Move Right

输入输出。

B - Unique Nicknames

循环。

C - 1 2 1 3 1 2 1

简单模拟。

D - Cylinder

注意到是一个队列的结构，然后直接模拟就可以了。

入队最多\(n\)次，所以出队也最多\(n\)次，直接模拟复杂度为线性。

E - Max Min

对于\(x = y\)的情况，只有全为\(x\)的区间才符合条件。处理出序列中极大连续全为\(x\)的区间个数及其长度，答案为各个区间答案相加。对于长度为\(l\)的区间，其子区间均符合条件，故答案等于\(\dfrac{(l+1) \times l}{2}\)。

对于\(x \ne y\)的情况，满足条件的区间中肯定不包含小于\(y\)或者大于\(x\)的元素，这样又分成多个区间相加了。对于其中一个区间可以线性处理出答案。

具体就是，假设当前枚举到了\(i\)，上一个\(x\)的位于\(px\)，上一个\(y\)位于\(py\)。如果\(a_i = x\)，那么又有可能出现新的满足条件的区间了，然后新的区间包含\([py, i]\)。

新区间左端点必须大于上一个\(px\)，否则会出现重复计数，故新区间左端点的取值有\(py - (px + 1) + 1\)种方案。注意一下初始的时候可能没有上一个\(x\)，这个时候可以认为\(py\)之前到子区间左端点都可取。

新区间的左端点已经考虑过重复了，所以右端点不需要考虑，故新区间右端点的取值有\(r - i + 1\)种，其中\(r\)是目前子区间的右端点。

\(a_i = y\)类似。

F - Cards

考虑转成图上问题，就是\(p_i\)到\(q_i\)连边，这样出来的图会是多个相互独立的环构成的，而且每个点的度数都为2，然后问题可以转化成边覆盖方案数。

每个环可以分别算答案，最后乘起来就可以了。

然后因为图中的点，度数都为2，所以问题可以转化成：对于图中的每一个点，和他相连的两条边至少选一条的方案数。

现在是一个环上问题，考虑搞成线性的问题，就是一个连续的序列，每两个连续的元素至少选一个问方案数，这个就是看每个选素选与不选，实际就是一个动态规划。

然后，根据这个解决环上问题的话，用类似的方可以转成线性问题。

G - Dream Team

如果只需要回答一个问题的话，其实就是一个最大费用最大流。

但是他是多次询问，每次流量增加1。

注意到，EK算法每一轮增广其实就是给源点加流，然后用新加的流去增广。之前为了求最大流，所以每次都是给源点加无穷大的流，现在改成每次给他加1的流让他去增广就可以了。

Ex - Rearranging Problem

官方题解。

B站有dls讲解视频。

具体的证明请看上面两个地方，这里只对最后加速DP的计算做一点更详细的补充。

题解中已经提到了有

\[dp_{n + 1, k} = dp_{n, k - 1} + dp_{n, k} \times C(n + 1) \]

，其中\(C(n + 1) = \text{#}\{i | 1 \le i \le n, c_i = c_{n + 1}\}\)。

搞出其生成函数，假设\(F_{n} = \sum_{i = 0}^{n} dp_{n, i} x^i\)，那么有

\[F_{n + 1} = xF_{n} + C(n + 1) F_n = (x + C(n + 1))F_n \]

，且有\(F_0 = 1\)。

可以看到都是多项式，全部乘起来就得到了\(dp_n\)对应的生成函数。

从前往后乘的话复杂度会炸，可以分治搞，每次尽量均分成两部分然后算出这两部分的结果，再乘起来就是当前位置的答案，可以证明这样搞是\(O(n \log^2n)\)的。