Codeforces Round #737 (Div. 2)

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A. Ezzat and Two Subsequences

\(a_1, a_2, \dots, a_{n-1}\)一组，\(a_n\)一组。

B. Moamen and k-subarrays

首先，原数组要能被分成\(k\)个非降子数组。

其次，每个子数组内元素的排名要连续。

遍历一下就完事了。

C. Moamen and XOR

难度突然上升，DP+组合数学。

回顾一下，与操作时全1为1，异或操作是奇数个1为1。

然后将每个数都当作\(k\)位二进制数，从高位开始DP，记\(dp_{i, 0}\)表示考虑前\(i\)位时等式两边相等的方案数，\(dp_{i, 1}\)表示考虑前\(i\)位时左式子大于右式的方案数。

两边相等

必定是前\(i - 1\)位相等，然后第\(i\)位相等。

第\(i\)位相等共有两种情况：同为0和同为1。

同为0的话，相当于第\(i\)位需要有偶数个1；同为1需要第\(i\)位全为1且\(n\)为奇数。共\(f = [\text{n is odd}] + \sum_{k} [\text{k is even}]C_n^k\)种方案。

然后就有\(dp_{i, 0} = dp_{i - 1, 0} \times f\)。

左大于右

前\(i - 1\)位相等且第\(i\)位左大与右或者前\(i-1\)位大且第\(i\)位随意。

第\(i\)位左大于右当且仅当\(n\)为偶数且全为1。

然后就有\(dp_{i, 1} = dp_{i - 1, 0} [\text{n is even}] + dp_{i-1,1} \times 2^k\)。

最后

\(ans = dp_{n, 0} + dp_{n, 1}\)。

D. Ezzat and Grid

考虑动态规划+线段树。

首先，记\(dp_{i, j}\)为考虑前\(i\)行，第\(i\)行通过第\(j\)列和之前的列保持满足条件，最多能保留几行。那么就有

\[dp_{i, j} = \left\{ \begin{aligned} & 1 + \max_{a_{i-1, j} = 1}(dp_{i - 1, j}) & a_{i, j} = 1\\ & dp_{i -1, j} & a_{i, j} = 0 \\ \end{aligned} \right. \]

然后每次都只和上一行有关，所以可以滚动数组优化空间。

然后通过离散化可以把行数缩成\(O(m)\)级别，然后一个线段树区间最大值就解决了。

由于要输出方案，所以可以加个区间置数或者以{value, index}作为线段树的元素，然后维护每一行的最优的前驱就行了。

AC代码

传送门

写在最后

补8.11 -8.13