快乐的一天从AC开始 | 20210726 | P1625
（补20210722）
靠着舍友救济的泡面活过了台风天叫不到夜宵的晚上
明天似乎还得去公司上班，希望明早能够打得到车
心路历程
高中数学+高精度
思路
有两种做法。
第一种就是把式子化成阶乘的式子，然后分子分母同乘以\((n + m - 1)!\)，之后就是一个大分母，然后分子是多个大整数整数相加，且相邻两项可以通过分子和分母分别乘以某个数得到。然后就是高精度了。
第二种就是利用裂项得到
\[\begin{aligned}
\frac{1}{\prod_{j = i}^{i + m - 1} j}
&= \frac{1}{i(i+1)\cdots(i + m -1)} \\
&= (m - 1)(\frac{1}{i(i+1)\cdots (i + m - 2)} - \frac{1}{(i+1)(i+2)\cdots (i + m - 1)})\\
&= (m - 1)(\frac{1}{\prod_{j = i}^{i + m - 2}j} - \frac{1}{\prod_{j = i + 1}^{i + m - 1}j})
\end{aligned}
\]
然后相消得到
\[S = (m - 1)(\frac{1}{\prod_{j = 1}^{m - 1}} - \frac{1}{\prod_{j = n + 1}^{n + m - 1}})
\]
然后也就是高精度了。
