Google Code Jam 2021 Round1A 题解
Append Sort
贪心。对于\(i \ge 2\)，每次将\(s_i\)修改成所有满足条件的数中最小的那个。
不妨将\(s_i\)看成字符串。
如果\(s_i\)是\(s_{i - 1}\)的前缀，那么一个可能的解是\(t = str(int(s_{i - 1}) +1)\)，或者不断补0直至\(len(s_i) = len(s_{i - 1}) + 1\)。前者若可行则会更优。前者可行的条件为\(s_i\)是\(t\)的前缀。
如果\(s_{i - 1} < s_i\)，不断补0直至长度相等。
否则，不断补0直至\(len(s_i) = len(s_{i - 1}) + 1\)。
Prime Time
Test Set 1
\(\sum_i N_i\)很小，可以直接暴力枚举。
记\(SUM\)为集合1的和，\(MUL\)为集合2的乘积。
假设一开始所有数都属于集合1，不断尝试将集合1中的某个数移到集合2。
Test Set 2
由于\(SUM\)至多为\(499 \times 100\)，所以可行的\(MUL\)也至多为这个数，差不多在\(2^{16}\)左右。所以还是可以暴力枚举判断，只需要加加剪枝就可以了。
枚举过程中，若\(MUL > SUM\)，则后续的枚举就可以剪掉。
Test Set 3
现在\(SUM\)至多为\(499 \times 10^{15}\)，差不多在\(2^{60}\)左右，暴力枚举已经不太行了。
可以推出集合2中至多有60个元素，由此可以推出集合2中的元素之和有一个非常宽松的上界\(499 \times 60 = 29940\)，这又可以推导出可能的\(SUM\)至多有\(29940\)个。
枚举所有可能的\(SUM\)，若可行，则\(MUL = SUM\)，对\(MUL\)进行质因数分解，在判断是否可行就可以了。由于\(MUL\)可能的质因数为输入的素数，所以这里质因数分解其实挺快的。
Hacked Exam
Test Set 1
无脑暴力。
Test Set 2
n=1
记\(p_i\)表示第\(i\)道题，答案和学生1相同的概率，那么若\(p_i \ge \frac{1}{2}\)，第\(i\)道题就和学生1填一样的，反之填和学生1相反的。
\(q\)道题中有\(score_1\)道题是对的，共\(C_{q}^{score_1}\)种方法。
如果学生1第\(i\)道题是对的，那么现在就是\(q - 1\)道题种，有\(score_1 - 1\)道题是对的，共\(C_{q - 1}^{score_1 - 1}\)种方法。即：
n=2
可以用动态规划（记忆化搜索）做。
记\(p_i\)表示第\(i\)道题，答案为T的概率。
记\(f(s_1, s_2, i)\)为仅考虑第\(i\)道以及之后的问题，且满足此时学生1的分数为\(s_1\)，学生2的分数为\(s_2\)，的方法数。
那么\(f(s_1, s_2, i) = f(s_1 - g(1, i, T), s2 - g_2(i, T),i + 1) + f(s_1 - g(1, i, F), s_2 - g(2, i, F), i + 1)\)。
其中，\(g(a, b, c)\)表示若正确答案为\(c\)，第\(a\)个学生第\(b\)道题的得分。
那么，第\(1\)道题的答案为T的概率就是
时间复杂度为\(O(Q^3)\)。
由于问题的顺序并不会影响最终的结果，所以可以每次将题目\(i\)移动到第1个位置，然后跑出\(p_i\)。这样子的时间复杂度为\(O(Q^4)\)。
其实对于所有学生1给出答案T，学生2给出答案T的题目，这些题目其实是等价的，同理可以类推，一共有\(4\)种类型的题目(TT，TF，FT，FF)。每种类型跑一遍记录下来就可以了，没有必要跑多次。这样子的时间复杂度为\(O(Q^3)\)。
其实，\(P_{TT} = 1 - P_{FF}, P_{TF} = 1 - P_{FT}\)，所以也可以只跑\(P_{TT}, P_{TF}\)，再去推\(P_{FF}, P_{FT}\)。
Test Set 3
TO BE SOLVED.
