左偏树

左偏树

一般的堆，仅能支持一些基本操作。

当我们要合并两个堆时，二叉堆要枚举其中一个堆的所有值并插入另一个堆，时间复杂度高达惊人的 \(O(n\log n)\)。

由于二叉堆维护的信息过少，导致合并时间复杂度过高。

而左偏树在二叉堆的基础上多维护了一个 \(dis\) 数组，使合并两个堆的复杂度是优秀的 \(O(\log n+\log m)\)。

1.左偏树的定义

左偏树是一种具有 左偏性质 的，满足堆性质 的二叉树，左偏树不一定是完全二叉树 。

左偏树每个节点包括左右子节点编号 \(lc[x],rc[x]\)、本身的值 \(v[x]\) 及 距离 \(dis[x]\) 。

一些定义

• 外节点 ：左儿子 或 右儿子为空的节点。

• 距离 ：该节点与最近的外节点经过的边数。外节点的距离为 \(0\) ，空节点的距离为 \(-1\) ，空节点指不存在的节点。

一些性质

对于任何节点：

• 有 \(v[x]\ge v[lc[x]],v[rc[x]]\) （大根堆）。

• 有 \(dis[lc[x]]\ge dis[rc[x]]\)（左偏）。

• 有 \(dis[x]=dis[rc[x]]+1\) 。

对于根节点：

有 \(dis[root]\le \log(n+1)-1\) 。

2.左偏树的实现

左偏树最重要的操作是 合并 ，流程大致如下：

• 维护堆的性质，选取值较小的根作为合并后的堆顶，然后递归合并其右儿子与另一个堆，作为合并后的堆的右儿子。

• 维护左偏性质，合并后若左儿子的 \(dis<\) 右儿子的 \(dis\) ，就交换两个儿子。

int Merge(int x,int y){
    if(!x||!y) return x+y;//一堆为空
    if(v[x]<v[y]) swap(x,y);//选择较大值作为堆顶
    rc[x]=Merge(rc[x],y);//递归合并右儿子
    if(dis[lc[x]]<dis[rc[x]]) swap(lc[x],rc[x]);//维护左偏性质
    dis[x]=dis[rc[x]]+1;//更新局部根节点dis值
    return x;//返回根节点编号
}

插入操作：将新插入节点当做一个堆，合并即可。

这里设插入节点 \(y\) 所在堆：

void Insert(int x,int y){
    v[++n]=x;
    Merge(Get(y),n);//并查集查找y堆顶
}

删除操作：将删除节点的左、右儿子分别合并即可。

这里设删除节点 \(y\) 所在堆堆顶

void Pop(int y){
    int fy=Get(y);//同上
    v[fy]=-1;//空节点值-1
    bin[lc[fy]]=bin[rc[fy]]=bin[fy]=Merge(lc[fy],rc[fy]);//维护并查集并合并左右儿子，正常情况下只需写Merge(lc[fy],rc[fy])
}

鸽子中……