概率初步

概率论

一、概率

规定以下符号：

• 样本空间 \(\Omega\) ，指随机事件所有可能的结果。

• 概率 \(P\) ，指每件事发生的概率。

定义事件 \(x\) 的概率为：

\[\large P(x)=\frac{\#x}{\#\Omega} \]

那么就有：

• \(P(x)\ge 0\)

• \(P(\Omega)=1\)

• 对于若干个两两互斥事件 \(A_1,A_2,···\)，有 \(\sum P(a_i)=P(\cup A_i)\) 。

就以掷骰子为例，事件 \(x\) 为掷到点 \(2\) （一个事件），一共 \(6\) 个事件（掷到 \(6\) 种点数），那么事件 \(x\) 的概率为 \(\frac{1}{6}\) 。

二、数学期望

若随机变量 \(X\) 的取值范围为 \(x_1,x_2···\) ，一个随机事件可表示为 \(X=X_i\) ，其概率为 \(P(X=X_i)=p_i\) ，那么事件 \(X\) 的期望为：

\[E(X)=\sum p_i x_i \]

以老生常谈的掷骰子为例，样本空间是由 \(6\) 个样本点的集合，每个样本点为 \(a\) ，其中 \(1\le a\le 6\) ，设随机变量 \(X\) 是每一种点数，掷出 \(a\) 点的概率\(P(X=a)=\frac{1}{6}\) ，投掷出点数的期望为：

\[\frac{1}{6}\times (1+2+3+4+5+6)=3.5 \]

虽然这个点数不可能掷到，能摇到的都是神人。

性质：数学期望是线性函数，满足 \(E(aX+bY)=a\times E(X)+b\times E(Y)\) 。

该性质非常重要，是我们能够递推数学期望的重要依据。