质数

1.质数

若对于一个大于 $1$ 的正整数 $x$，有：

$\forall1< y< x ,y\nmid x$。

则称此数为质数（素数），否则此数为合数。

判定一个质数的方法之试除法：检查 $2\sim \sqrt{n}$ 之间的所有数是否能整除 $n$。

bool check(int x) {
	int cnt=sqrt(x);
	for(int i=2;i<=cnt;++i) {
		if(x%i==0) return false;
	}
	return true;
}

找 $1\sim n$ 之间所有的质数：筛法。

暴力

对 $1\sim n$ 的所有数判断是否是质数。

时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

朴素筛法

扫描 $1\sim n$，标记 $n$ 以内所有的倍数，若当前没被标记则为质数。

调和级数知时间复杂度约为 $O(n\log n)$。

埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）。

考虑优化上述筛法，发现只要标记质数的倍数就行。

并且由于 $1\sim n$ 的数只需扫描 $1\sim \sqrt n$ 的数即可全部标记。

时间复杂度趋近于 $O(n\log\log n)$。

int vis[N],n;
vector<int>prime;
for(int i=2;i*i<=n;++i) {
	if(vis[i]) continue;
	for(int j=i*i;j<=n;j+=i) vis[j]=1;
}
for(int i=1;i<=n;++i) if(!vis[i]) prime.push_back(i);

时间复杂度证明。

线性筛法（欧拉筛）

再次考虑优化，发现会重复标记很恶心。

考虑如何仅标记一次，直接被最小质因子标记一次即可。

具体见注释。

int v[N],n;
vector<int>prime;
for(int i=2;i<=n;++i) {
	if(!v[i]) v[i]=i,prime.push_back(i);//是质数。 
	for(int p:prime) {
		if(p*i>n||v[i]<p) break;//超过范围或者有更小质因子。 
		v[p*i]=p;
	}
}

找大于 $x$ 的最小的质数/小于 $x$ 的最大的质数：

筛出符合范围的所有质数，再二分查找。

但真的很优秀吗？若至算法一个！

素数密度：在 $1\sim n$ 中约有 $\frac{n}{\ln n}$ 个质数，即每 $\ln n$ 个数中大约有一个质数。

根据性质，我们直接暴力向前/后扫，试除法判断扫到的数是不是质数。

时间复杂度为 $O(\sqrt n \log n)$。

区间筛法

$Q:$ 给定 $l,r$，求区间 $[l,r]$ 以内的所有质数。

$l,r\le 1e9,r-l\le 1e6$.

暴力筛 $r$ 以内所有质数不现实。

发现 $[l,r]$ 以内的所有数只需用埃氏筛标记 $1\sim \sqrt r$ 中的质数即可将质数全部筛出。

所以用偏移量数组，按照普通埃氏筛即可。

复杂度 $O(m\log\log m)$，其中 $m=r-l$。

void Eratosthenes(ll n){
	for(ll i=2;i*i<=n;i++)
		for(ll j=(l+i-1)/i*i;j<=n;j+=i)
			if(j!=i)b[j-l]=0;
}
int main() {
	scanf("%lld%lld",&l,&r);
	Eratosthenes(r);
	for(int i=l;i<=r;i++)
        if(b[i-l]) ans++;
    ans-=max(2-l,0);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}