堆排序

　　先介绍下堆这种结构，堆就是一颗完全二叉树，除了树的最底层，该树是完全充满的。堆这种结构用数组来实现，二叉树中的每一个节点，都对应数组中的一个元素，一个父节点可以根据自身节点在数组中的索引，直接算出子节点在数组中的索引，要注意在访问子节点的时候要判断子节点的索引是否越界。

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（图片截取自《算法导论》）

 

　　堆分两种，最大堆和最小堆，最大堆就是父节点的值总比子节点的值大，最小堆则是父节点值比子节点值要小。如果父节点在数组的索引为i,则左子节点的索引为i * 2,右子节点索引为i *2 + 1，一个节点总数为N的完全二叉树，其高度为lgN。

　　堆排序即然用到堆，那就要先构建最大堆或最小堆，最后排序。最大堆和最小堆都能排序，但是只有最大堆可以原址排序，最小堆则必须使用额外的空间来存储排序结果，所以堆排序一般都是使用最大堆排序。

　　完全二叉树有一个重要性质，那就是如果二叉树有N个节点，那此树的叶节点的数据索引为N/2，N/2+2，N/2+3，... ...., N - 1，一共N/2个。比如上图的树中一共有10个节点，那它的树节点在数组中的索引为 5，6，7，8，9，一共5个。如果N为偶数，那叶子节点的个数为N/2个，如果N为奇数，那叶子节点的个数就为(N+1)/2个，可以统一写为(N+1)/2个。

　　先讨论对某数组索引为i的节点维护最大堆性质，因为父节点必须大于子节点，所以把父节点的值分别与两个子节点进行比较，在子节点中选择最大的节点，如果此节点比父节点要大，则把此节点与父节点的值交换，交换后，子节点之下可能又不满足最大堆的性质，所以需要一直往下进行此过程，直到叶子节点，这是一个逐级下降处理过程。

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（图片截取自《算法导论》）

如上图a，对索引为1，值为4的节点进行最大堆性质处理，它比子节点14的值小，则交换值，如图b，交换后，其值又比新的子节点8要小，继续交换，直到到达叶子节点。以上就是一个逐级下降处理过程。代码如下：

void MaxHeapfy(int* pArr, int i, int size) {
    int l = i << 1;
    int r = l + 1;
    int max = i;
    
    if (l < size && pArr[l] > pArr[max])
        max = l;
    if (r < size && pArr[r] > pArr[max])
        max = r;
    if (max != i) {
        Swap(pArr + i, pArr + max);
        MaxHeapfy(pArr, max, size);
    }
}

 

　　建堆则是一个自底向上的过程，每个叶节点就是以自身为根节点的子树，它们没有叶节点，所以本身就满足最大堆性质，无需对它们进行处理，所以从N/2-1个节点，也就是非叶子节点开始处理。对每个非叶子节点进行最大化堆处理，一直执行到根节点，就完成了最大堆的够建，代码很简单。

void MakeMaxHeap(int* pArr, int size) {
    int h = size / 2;
    for (int i = h - 1; i >= 0;--i)
    {
        MaxHeapfy(pArr, i, size);
    }
}

 

　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（图片截取自《算法导论》）

　上图显示了将数组A够建为最大堆的过程.

　堆排序就简单了,只需要在最大堆的基础上,把第一个元素拷贝到数组末尾,然后数组的size-1,然后对根节点进行最大堆性质维护,维护完成后,根节点又是新的子堆的最大值,这样反复进行,直到子堆大小为1则结束,数组就是从小到大排序的了.

void HeapSort(int* pArr, int size) {
    Swap(pArr + size - 1, pArr);
    int size = size - 1;
    for (int i = size - 2; i >= 0; --i) {
        MaxHeapfy(pArr, 0, size);
        Swap(pArr + i, pArr);
        size = size - 1;
    }
}

　　了解了最大堆,最小堆就简单了,可以思考下为什么最小堆不能原址排序,而需要额外空间